Seno, cosseno e tangente
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a cateto opostob cateto adjacentec hipotenusa
Fórmulas de trigonometria
Todas as fórmulas de trigonometria numa folha só: as três razões, as identidades que saem delas, as fórmulas de arcos, as leis dos senos e dos cossenos, os radianos e os gráficos.
Última atualização
Todas as fórmulas de trigonometria numa página só: as três razões, as identidades, as fórmulas de arcos, as leis para qualquer triângulo, os radianos e os gráficos. Cada símbolo é explicado embaixo da sua fórmula. Mude para o modo Me pergunte para esconder as fórmulas e se testar, ou imprima a folha inteira.
Razões trigonométricas
Identidades recíprocas
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
Identidades do quociente
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
Ângulos notáveis
Ângulosincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
Identidades
Identidades pitagóricas
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Identidades de paridade
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
Arcos complementares
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
Fórmulas de arcos
Soma e diferença de arcos
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
Fórmulas do arco duplo
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
Fórmulas do arco metade
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
Fórmulas de redução de potência
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
Transformação de produto em soma
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
Transformação de soma em produto
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
Triângulos
Lei dos senos
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C ângulosa, b, c os lados opostos a eles
Lei dos cossenos
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C ângulosa, b, c os lados opostos a eles
Área de um triângulo
- Área
- A = ½ab sin C
C o ângulo entre os lados a e b
Radianos e gráficos
Radianos, arcos e setores
- 180° = π rad
- De graus para radianos
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- Comprimento do arco
- s = rθ
- Área do setor
- A = ½r²θ
r raioθ ângulo em radianoss comprimento do arco
Gráficos do seno e do cosseno
- y = A sin(Bx − C) + D
- Amplitude
- |A|
- Período
- 2π / |B|
- Deslocamento de fase
- C / B
- Linha média
- y = D
Tudo começa com três razões
Num triângulo retângulo, escolha um dos dois ângulos agudos e chame-o de θ. O lado em frente a ele é o cateto oposto, o lado junto dele é o cateto adjacente e o lado mais comprido é a hipotenusa. Então:
- sin θ = oposto / hipotenusa
- cos θ = adjacente / hipotenusa
- tan θ = oposto / adjacente
Quase todas as outras linhas da folha são uma dessas três, rearranjada.
As identidades são um fato só, dividido
Coloque o triângulo dentro de um círculo de raio 1. A hipotenusa vale 1, então os dois catetos são exatamente cos θ e sin θ, e o teorema de Pitágoras dá sin²θ + cos²θ = 1.
Essa linha dá as outras duas. Divida cada termo por cos²θ e você obtém tan²θ + 1 = sec²θ; divida por sin²θ e você obtém 1 + cot²θ = csc²θ. A página do círculo trigonométrico mostra o triângulo girando em volta do círculo.
As fórmulas de arcos saem de duas
Aprenda as fórmulas da soma para o seno e o cosseno. Tudo na seção de fórmulas de arcos sai delas:
- Arco duplo: faça B = A na fórmula da soma, e sin(A + A) vira 2 sin A cos A.
- Redução de potência: isole sin²θ em cos 2θ = 1 − 2sin²θ.
- Arco metade: a fórmula de redução de potência com θ escrito como metade de 2θ, e depois uma raiz quadrada.
- Diferença: troque B por −B e use as identidades de paridade.
Qualquer triângulo, não só os retângulos
As razões precisam de um ângulo reto. Para qualquer outro triângulo, chame cada ângulo por uma letra maiúscula e o lado em frente a ele pela mesma letra minúscula. Então:
- A lei dos senos liga cada lado ao ângulo oposto a ele. Use-a quando você conhece um lado e o ângulo oposto.
- A lei dos cossenos é o teorema de Pitágoras com uma correção para o ângulo: quando C = 90°, cos C = 0 e ela vira c² = a² + b². Use-a quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados.
Graus e radianos
Uma volta completa tem 360°, ou 2π radianos, então 180° = π radianos. As identidades valem nas duas unidades. O comprimento do arco s = rθ e a área do setor A = ½r²θ precisam de θ em radianos: é isso que as deixa tão curtas.
Tente uma
Para onde ir depois
Para ver de onde vêm esses valores, leia SOHCAHTOA e o círculo trigonométrico. O resumo de fórmulas de geometria tem as fórmulas de área, volume e coordenadas.
Perguntas frequentes
Existe um resumo de identidades trigonométricas para imprimir?
Sim. Tudo o que está nesta página também pode ser baixado grátis como PDF tamanho A4 e como PNG. Os botões de download ficam acima da folha e de novo abaixo dela.
Quais são as três identidades pitagóricas?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ e 1 + cot²θ = csc²θ. Só a primeira vale a pena decorar: divida-a por cos²θ para obter a segunda e por sin²θ para obter a terceira.
Quando uso a lei dos senos e quando uso a lei dos cossenos?
Use a lei dos senos quando você conhece um ângulo e o lado oposto a ele, mais um lado ou ângulo. Use a lei dos cossenos quando conhece dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados. Num triângulo retângulo você não precisa de nenhuma das duas: as razões sin, cos e tan bastam.
Quais fórmulas de trigonometria eu preciso decorar?
As três razões, sin²θ + cos²θ = 1 e as fórmulas da soma para sin e cos. As do arco duplo são as da soma com B = A, as do arco metade e as de redução de potência saem das do arco duplo, e as identidades recíprocas e do quociente são definições.
As fórmulas valem em graus e em radianos?
Sim, todas as identidades valem nas duas unidades. Só as fórmulas que misturam um ângulo com um comprimento precisam de radianos: o comprimento do arco s = rθ e a área do setor A = ½r²θ só valem quando θ está em radianos.
