集合符号
集合符号是一套小小的字母表：花括号列出一个集合，∈ 表示一个元素属于它，∪ 把两个集合合起来，∩ 留下它们重叠的部分，撇号表示其余的一切。每个符号都是韦恩图中的一块区域。
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集合是一些互不相同的东西组成的整体，这些东西叫作它的元素。集合符号就是那么几个符号，用来列出一个集合、说明什么属于它，以及把两个集合组合成第三个集合。这些符号不到十几个，每一个都对应韦恩图中的一块区域。
这里 A 是 12 的因数，B 是偶数，全集是 U = {1, 2, ..., 12}。选一种运算，看它涂的是哪块区域。
- U = {1, 2, ..., 12}
- 1 到 12 的整数
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- 12 的因数
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- 偶数
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
读作 A 并 B
所有在 A 中、在 B 中或同时在两者中的元素。
8 个元素
符号一览
| 符号 | 名称 | 读作 | 用上面的集合举例 |
|---|---|---|---|
| { } | 花括号 | “……组成的集合” | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | 属于 | “在……中” | 6 ∈ A |
| ∉ | 不属于 | “不在……中” | 5 ∉ A |
| ⊆ | 子集 | “是……的子集” | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | 并集 | “A 并 B” | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | 交集 | “A 交 B” | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | 差集 | “A 减 B” | A \ B = {1, 3} |
| A′ | 补集 | “A 的补集”或“非 A” | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | 对称差 | “A 与 B 的对称差” | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | 空集 | “空集” | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | 全集 | “全集” | 所讨论的全部对象 |
最后一列的每个答案都可以在上面的图中核对，而且值得亲手做一遍：列出 A 和 B，再从这两个列表中读出每种运算的结果。
怎样写出一个集合
列举法把元素写在花括号里：A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}。它有两条规则。顺序无关紧要，重复也无关紧要，所以 {1, 2, 3}、{3, 2, 1} 和 {1, 1, 2, 3} 是同一个集合。
描述法则用一条规则来描述元素：
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
读作“所有满足 12 除以 x 也是自然数的自然数 x 组成的集合”。竖线表示“满足”；有些书用冒号代替。要写出含有无穷多个元素的集合，描述法是唯一的办法，比如 {x ∈ ℝ | x > 3}，用区间表示法可以简写成 (3, ∞)。
各个数系都有自己的字母：ℕ 表示自然数，ℤ 表示整数，ℚ 表示有理数，ℝ 表示实数。
组合两个集合
四种运算几乎能应付所有题目：
- 并集，A ∪ B：在 A 中或在 B 中，或同时在两者中的所有元素。它就是“或”。没有元素会被列两次，所以 2、4、6 和 12 虽然在两个集合中都有，也只出现一次。
- 交集，A ∩ B：只包含同时在两个集合中的元素。它就是“且”。
- 差集，A \ B：在 A 中但不在 B 中的元素。顺序很重要，因为 B \ A = {8, 10}，而 A \ B = {1, 3}。有些书用减号来表示它。
- 补集，A′：全集中所有不在 A 里的元素。没有全集，补集就没有定义，所以每张韦恩图外面都有一个长方形。
对称差 A △ B 是并集去掉交集：恰好只在两个集合之一中的元素。
属于，还是子集
这两个是这个主题中最容易混淆的符号，因为它们回答的都是“它在里面吗？”。
- ∈ 表示元素与集合的关系：2 ∈ A。
- ⊆ 表示集合与集合的关系：{2} ⊆ A。
写“2 ⊆ A”是错的，因为 2 是一个数，不是集合；写“{2} ∈ A”也是错的，理由正好相反：A 包含的是数 2，而不是集合 {2}。
如果一个集合的每一个元素都在另一个集合中，它就是另一个集合的子集。只要缺一个元素，就不成立：A 不是 B 的子集，因为 1 在 A 中却不在 B 中。空集是任何集合的子集，因为它没有任何可能缺失的元素。
用韦恩图计数
一个集合中元素的个数用竖线表示：|A| = 6。要数并集的元素个数，就把两个集合的个数相加，再减去被数了两次的重叠部分：
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
用上面的集合来算，就是 6 + 6 减 4，得 8，和直接数并集的结果一样。这就是容斥原理，像“有多少学生选了法语或西班牙语”这类调查题就是这样解的。
答案是 18 + 12 减 5，等于 25。如果你得到 30，说明两样都参加的那 5 名学生被数了两次。
集合和逻辑是同一回事
并集是“或”，交集是“且”，补集是“非”。这不是一个松散的类比：一个元素在 A ∩ B 中，当且仅当“它在 A 中且它在 B 中”这个命题为真。离散数学页面为这些词搭建了真值表，而同一张韦恩图可以把两者都涂出来。
常见问题
∈ 是什么意思？
∈ 表示“属于”，即“是……的元素”。3 ∈ A 表示 3 是集合 A 的成员之一。加一条斜线的 ∉ 表示“不属于”，所以 5 ∉ A 表示 5 不在 A 中。这个符号是希腊字母 epsilon 的变体，取自 element（元素）一词。
∈ 和 ⊆ 有什么区别？
∈ 连接的是元素和集合，⊆ 连接的是集合和集合。如果 A = {1, 2, 3}，那么 2 ∈ A 和 {2} ⊆ A 都成立，但 2 ⊆ A 是错的，因为 2 是一个数，不是一个集合。⊆ 读作“是……的子集”：左边集合的每一个元素也都在右边的集合里。
描述法是什么？
一种用规则而不是列举来描述集合的方法。{x | x > 3} 读作“所有大于 3 的 x 组成的集合”。竖线（有些书用冒号）表示“满足”。要写出含有无穷多个元素的集合，这是唯一实用的方法。
并集和交集有什么区别？
并集 A ∪ B 包含所有在 A 中、或在 B 中、或同时在两者中的元素。交集 A ∩ B 只包含同时在 A 和 B 中的元素。在韦恩图上，并集是两个圆合起来的部分，交集是两圆重叠的那块透镜形区域，所以交集总是在并集之内。
集合的补集怎么写？
大多数书写作 A′（A 撇）、Aᶜ 或在 A 上面加一横。三种写法意思相同：全集 U 中所有不在 A 里的元素。补集取决于 U，所以在列出补集之前，一定要先确认全集是什么。
∅ 是什么意思？
∅ 是空集，即不含任何元素的集合。它也可以写成 {}。空集是任何集合的子集，因为它没有任何可能在另一个集合里缺失的元素。注意 {∅} 不是空集：它是只有一个元素的集合，而这个元素就是空集。
⊂ 和 ⊆ 有什么区别？
⊆ 表示“是……的子集”，允许两个集合相等。⊂ 通常表示真子集，即比另一个集合小的子集。不同的书在这一点上说法不一：有些书用 ⊂ 表示任意子集，表示真子集时写 ⊊。在关键的时候，要确认你的课程用的是哪种约定。
