乘法分配律
a(b + c) = ab + ac 通常是先给出结论，再反复练习。其实看过一次就容易记住了，因为它本身就是一幅图：一个长方形，切成两块。
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你几乎肯定用过乘法分配律，只是没人告诉你它叫什么。算 7 × 23 时，大多数人会先算 7 × 20 = 140，再算 7 × 3 = 21，然后相加得到 161。这就是 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3，也就是把这条规则用在了算术上。
在代数里，它对字母做同样的事，括号之所以能去掉，靠的就是它。下面来看它为什么成立。
把长方形切开并不改变它的面积。这就是分配律的全部内容。
它就是一个被切开的长方形
把滑块设为 a = 3、b = 4、c = 2，然后看这个图形。
整个长方形高 3，宽 4 + 2 = 6，所以面积是 3(4 + 2) = 18。竖着的那一刀把它分成一块 3 × 4 和一块 3 × 2，面积分别是 3*4 = 12 和 3*2 = 6，而 12 + 6 正好是 18。
这就是全部的证明。切开长方形不会改变它的面积，所以不管数字是多少，一个整体的式子和两部分相加的式子一定相等。随便拖动三个滑块，两个总和始终一致。
写成一般形式：a(b + c) = a*b + a*c。
宽和高的标注值得留意，因为它们说明了每个数在做什么。a 在括号外面，它要同时乘两块，因为两块的高都是 a。括号里面的数之间不会互相相乘。
负数的情况，最容易出错的地方
现在把 c 拖到零以下。
第二个长方形会变色，并移到第一个长方形里面，因为负的宽度表示这一块是被减掉的。当 a = 3、b = 4、c = -2 时，总面积是 3(4 - 2) = 6，而两块分别是 3*4 = 12 和减去 3*2 = 6。12 减去 6。
所以负号会带到第二项上：
a(b - c) = a*b - a*c
这正是要提防的错误。把 -2(x + 3) 写成 -2x + 6 是错的；-2 要乘两项，结果是 -2x - 6。如果拿不准，就代入一个数：x = 1 时，原式是 -2(1 + 3) = -8，只有 -2x - 6 能得到 -8。
用它来解题
去括号本身很少是目的，它只是让字母单独留在一边的一个步骤。下面是在解方程时用到它的例子：
值得注意：上面的解法根本没有展开括号，因为 27 能被 3 整除，先两边同时除以 3 更快。分配律是一种工具，不是非用不可。展开成 3x + 12 = 27 也能得到同样的 x = 5，只是路要绕得远一些。
倒过来用
把 a*b + a*c = a(b + c) 从右往左读，就是因式分解：找出每一项都有的公因数，把它提到前面。6x + 9 变成 3(2x + 3)，因为两项都能被 3 整除。
这还是同一幅图，只是换个方向看：你不是在切开一个长方形，而是注意到两个长方形高度相同，可以拼在一起。
试一题
这道题故意把负号放在括号外面。如果你算出 -1，说明负号没有乘到 3 上。
常见问题
乘法分配律是什么？
它说的是：用一个数乘一个和，等于用这个数分别乘每一部分再相加，即 a(b + c) = ab + ac。代数里能去括号靠的就是它，你能心算 7 × 23，把它算成 7 × 20 加 7 × 3，靠的也是它。
为什么 a(b + c) = ab + ac 成立？
因为等号两边都是同一个长方形的面积。一个高为 a、宽为 (b + c) 的长方形，面积是 a(b + c)。用一条竖线把它切成宽 b 和宽 c 的两块，两块的面积分别是 ab 和 ac。切开一个图形不会改变它的大小，所以这两个式子一定相等。
遇到负号怎么办？
符号会带到括号里的每一项上。所以 -2(x + 3) 等于 -2x - 6，而不是 -2x + 6：两项都要乘以 -2。这是去括号时最常见的错误，每次都值得代入一个数检查一下结果。
分配和因式分解有什么区别？
它们是同一个事实，只是方向相反。分配是从 a(b + c) 变成 ab + ac，去掉括号。因式分解是从 ab + ac 变回 a(b + c)，加上括号。正因为这条规则可以倒过来用，因式分解才成为可能。
FOIL 法是乘法分配律吗？
是的，FOIL 法就是用了两次的乘法分配律。展开 (x + 2)(x + 3) 时，先把整个第一个括号分配到第二个括号上，再在每一部分里分配一次。FOIL 只是帮你记住最后得到的四个乘积，并不是一条独立的规则，所以一旦某个括号里有三项，FOIL 就不管用了，而分配律照样适用。
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