الضرب التبادلي

في التناسب $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، اضرب طرفَي علامة المساواة: البسط الأيسر في المقام الأيمن، والمقام الأيسر في البسط الأيمن. هذان الضربان التبادليان متساويان دائمًا: $a\cdot d = b\cdot c$. في $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$، الضربان التبادليان هما 3 · 12 و4 · 9، وكلاهما يساوي 36.

لماذا تنجح هذه الطريقة؟ اجعل الكسرين لهما المقام نفسه، 4 · 12 = 48. عندئذٍ يكون $\frac{3}{4}$ مساويًا لـ36 على 48، ويكون $\frac{9}{12}$ أيضًا مساويًا لـ36 على 48. البسطان الجديدان هما بالضبط حاصلَي الضرب التبادلي، 3 · 12 و9 · 4. الكسور المتساوية التي لها المقام نفسه لا بد أن يكون لها البسط نفسه، لذا يتطابق حاصلَا الضرب التبادلي.

هذا يجعل الضرب التبادلي طريقة سريعة للتحقق مما إذا كانت نسبتان متساويتين، دون تبسيط. هل $\frac{4}{6}$ و$\frac{10}{15}$ متساويتان؟ 4 · 15 يساوي 60 و6 · 10 يساوي 60، إذن نعم. وهل $\frac{3}{4}$ و$\frac{5}{7}$ متساويتان؟ 3 · 7 يساوي 21، لكن 4 · 5 يساوي 20، إذن لا.