От угла к сторонам

В правильном многоугольнике с n сторонами сумма углов (n - 2) × 180 поровну распределена между n углами. Чтобы выполнить обратный переход — от одного угла к числу сторон, — запишем сумму углов двумя способами и приравняем выражения.

Допустим, каждый угол равен 150°. Сумма n углов равна 150 × n, и сумма углов также равна (n - 2) × 180. Значит, (n - 2) × 180 = 150 × n. Раскроем скобки: 180 × n - 360 = 150 × n. Вычтем 150n из обеих частей: 30 × n = 360, значит, n = 12. Правильный многоугольник с 12 сторонами.

Если n не получается целым числом, то правильного многоугольника с таким углом не существует.