Notasi Himpunan
Notasi himpunan adalah alfabet kecil: kurung kurawal mendaftar sebuah himpunan, ∈ menyatakan bahwa sebuah anggota termasuk di dalamnya, ∪ menggabungkan dua himpunan, ∩ menyimpan bagian yang beririsan, dan tanda aksen menandai semua yang lain. Setiap simbol adalah satu daerah pada diagram Venn.
Terakhir diperbarui
Himpunan adalah kumpulan benda yang berbeda-beda, yang disebut anggota-nya. Notasi himpunan adalah segelintir simbol untuk mendaftar sebuah himpunan, menyatakan apa yang termasuk di dalamnya, dan menggabungkan dua himpunan menjadi himpunan ketiga. Jumlahnya kurang dari selusin, dan masing-masing menamai satu daerah pada diagram Venn.
Di sini A adalah faktor-faktor dari 12 dan B adalah bilangan genap, di dalam himpunan semesta U = {1, 2, ..., 12}. Pilih sebuah operasi dan lihat daerah mana yang diarsirnya.
- U = {1, 2, ..., 12}
- bilangan bulat dari 1 sampai 12
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- faktor dari 12
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- bilangan genap
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Cara membaca A gabungan B
Semua yang ada di A, di B, atau di keduanya.
8 anggota
Simbol-simbolnya
| simbol | nama | cara membaca | contoh dengan himpunan di atas |
|---|---|---|---|
| { } | kurung kurawal | "himpunan" | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | anggota dari | "ada di" | 6 ∈ A |
| ∉ | bukan anggota dari | "tidak ada di" | 5 ∉ A |
| ⊆ | himpunan bagian dari | "adalah himpunan bagian dari" | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | gabungan | "A gabungan B" | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | irisan | "A irisan B" | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | selisih | "A minus B" | A \ B = {1, 3} |
| A′ | komplemen | "komplemen A" atau "bukan A" | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | selisih simetris | "selisih simetris A dan B" | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | himpunan kosong | "himpunan kosong" | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | himpunan semesta | "himpunan semesta" | semua yang sedang dibicarakan |
Setiap jawaban di kolom terakhir bisa diperiksa pada diagram di atas, dan ada gunanya melakukannya sekali dengan tangan: daftarkan A dan B, lalu baca setiap operasi dari kedua daftar itu.
Menuliskan sebuah himpunan
Cara mendaftar menuliskan anggota-anggotanya di antara kurung kurawal: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Ada dua aturan yang menyertainya. Urutan tidak penting, begitu pula pengulangan, jadi {1, 2, 3}, {3, 2, 1}, dan {1, 1, 2, 3} adalah himpunan yang sama.
Notasi pembentuk himpunan menggambarkan anggotanya dengan aturan:
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
Bacalah sebagai "himpunan bilangan asli x sedemikian sehingga 12 dibagi x juga bilangan asli". Garis tegak berarti "sedemikian sehingga"; sebagian buku memakai titik dua. Notasi pembentuk himpunan adalah satu-satunya cara menulis himpunan dengan tak hingga banyaknya anggota, seperti {x ∈ ℝ | x > 3}, yang disingkat oleh notasi interval menjadi (3, ∞).
Sistem bilangan punya hurufnya sendiri: ℕ untuk bilangan asli, ℤ untuk bilangan bulat, ℚ untuk bilangan rasional, dan ℝ untuk bilangan real.
Menggabungkan dua himpunan
Empat operasi mencakup hampir semua soal:
- Gabungan, A ∪ B: semua yang ada di A atau di B, atau di keduanya. Ini adalah kata "atau". Tidak ada yang dicantumkan dua kali, jadi 2, 4, 6, dan 12 muncul sekali meskipun ada di kedua himpunan.
- Irisan, A ∩ B: hanya yang ada di kedua himpunan sekaligus. Ini adalah kata "dan".
- Selisih, A \ B: yang ada di A tetapi tidak ada di B. Urutannya penting, karena B \ A = {8, 10}, sedangkan A \ B = {1, 3}. Sebagian buku menuliskannya dengan tanda minus.
- Komplemen, A′: semua yang ada di himpunan semesta tetapi tidak ada di A. Tanpa himpunan semesta, komplemen tidak terdefinisi, dan itulah sebabnya setiap diagram Venn dikelilingi persegi panjang.
Selisih simetris, A △ B, adalah gabungan yang irisannya dikeluarkan: anggota yang ada di tepat satu dari kedua himpunan.
Anggota dari, atau himpunan bagian dari
Keduanya adalah simbol yang paling sering tertukar di topik ini, karena keduanya menjawab "apakah ada di situ?".
- ∈ menghubungkan sebuah anggota dengan sebuah himpunan: 2 ∈ A.
- ⊆ menghubungkan himpunan dengan himpunan: {2} ⊆ A.
Menulis "2 ⊆ A" itu salah, karena 2 adalah bilangan, bukan himpunan, dan menulis "{2} ∈ A" salah karena alasan sebaliknya, karena A memuat bilangan 2, bukan himpunan {2}.
Sebuah himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan lain kalau setiap anggotanya ada di himpunan lain itu. Satu anggota yang hilang sudah cukup untuk membuatnya salah: A bukan himpunan bagian dari B, karena 1 ada di A tetapi tidak ada di B. Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan, karena ia tidak punya anggota yang bisa hilang.
Menghitung dengan diagram Venn
Banyaknya anggota sebuah himpunan ditulis dengan garis tegak: |A| = 6. Untuk menghitung gabungan, jumlahkan kedua himpunan lalu kurangi irisannya, yang terhitung dua kali:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Dengan himpunan di atas, hasilnya 6 + 6 dikurangi 4, yaitu 8, sama dengan menghitung gabungannya secara langsung. Inilah prinsip inklusi-eksklusi, dan begitulah cara menjawab soal survei seperti "berapa siswa yang belajar bahasa Prancis atau bahasa Spanyol".
Jawabannya 18 + 12 dikurangi 5, yaitu 25. Kalau kamu mendapat 30, kelima siswa yang bermain keduanya terhitung dua kali.
Himpunan dan logika adalah hal yang sama
Gabungan adalah "atau", irisan adalah "dan", dan komplemen adalah "tidak". Itu bukan analogi longgar: sebuah anggota ada di A ∩ B tepat ketika pernyataan "anggota itu ada di A dan ada di B" bernilai benar. Halaman matematika diskrit membangun tabel kebenaran untuk kata-kata itu, dan diagram Venn yang sama mengarsir keduanya.
Pertanyaan umum
Apa arti ∈?
∈ berarti "adalah anggota dari". 3 ∈ A menyatakan bahwa 3 adalah salah satu anggota himpunan A. Dengan garis miring yang mencoretnya, ∉ berarti "bukan anggota dari", jadi 5 ∉ A menyatakan bahwa 5 tidak ada di A. Simbol ini adalah huruf Yunani epsilon yang digayakan, dari kata element (anggota).
Apa bedanya ∈ dan ⊆?
∈ menghubungkan sebuah anggota dengan sebuah himpunan, sedangkan ⊆ menghubungkan himpunan dengan himpunan. Kalau A = {1, 2, 3}, maka 2 ∈ A dan {2} ⊆ A sama-sama benar, tetapi 2 ⊆ A salah, karena 2 adalah bilangan, bukan himpunan. Baca ⊆ sebagai "adalah himpunan bagian dari": setiap anggota himpunan di sebelah kiri juga ada di himpunan sebelah kanan.
Apa itu notasi pembentuk himpunan?
Cara menggambarkan sebuah himpunan dengan aturan, bukan dengan daftar. {x | x > 3} dibaca "himpunan semua x sedemikian sehingga x lebih besar dari 3". Garis tegak, atau titik dua di sebagian buku, berarti "sedemikian sehingga". Hanya dengan cara inilah himpunan dengan tak hingga banyaknya anggota bisa ditulis secara praktis.
Apa bedanya gabungan dan irisan?
Gabungan A ∪ B memuat semua yang ada di A atau di B atau di keduanya. Irisan A ∩ B hanya memuat yang ada di A dan di B sekaligus. Pada diagram Venn, gabungan adalah kedua lingkaran bersama-sama dan irisan adalah daerah lonjong tempat keduanya bertumpang tindih, jadi irisan selalu berada di dalam gabungan.
Bagaimana cara menulis komplemen sebuah himpunan?
Sebagian besar buku menulis A′ (A aksen), Aᶜ, atau A dengan garis di atasnya. Ketiganya berarti hal yang sama: setiap anggota himpunan semesta U yang tidak ada di A. Komplemen bergantung pada U, jadi selalu periksa apa himpunan semestanya sebelum kamu mendaftarnya.
Apa arti ∅?
∅ adalah himpunan kosong, himpunan yang tidak punya anggota. Himpunan ini juga bisa ditulis {}. Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan, karena ia tidak punya anggota yang bisa hilang dari himpunan lain. Perhatikan bahwa {∅} tidak kosong: itu himpunan dengan satu anggota, dan anggotanya adalah himpunan kosong.
Apa bedanya ⊂ dan ⊆?
⊆ berarti "adalah himpunan bagian dari" dan membolehkan kedua himpunan sama. ⊂ biasanya berarti himpunan bagian sejati, yaitu yang lebih kecil daripada himpunan lainnya. Buku-buku berbeda pendapat di sini: sebagian memakai ⊂ untuk himpunan bagian apa pun dan menulis ⊊ saat maksudnya himpunan bagian sejati. Kalau hal ini penting, periksa kesepakatan mana yang dipakai di kelasmu.
