Segitiga 30-60-90
Ada dua segitiga yang perbandingan sisinya cukup eksak untuk ditulis, dan karena itu hanya keduanya yang bisa kamu selesaikan di kepala. Keduanya lahir dari memotong bangun yang sudah kamu kenal menjadi dua.
Terakhir diperbarui
Setiap segitiga siku-siku punya perbandingan antarsisinya. Pada hampir semua segitiga, perbandingan itu berupa desimal yang tidak rapi dan butuh kalkulator. Hanya pada dua segitiga, perbandingannya berupa bentuk eksak yang pendek dan bisa kamu tulis. Itulah sebabnya keduanya muncul di soal demi soal.
Ganti-ganti di antara keduanya di bawah ini, lalu ubah ukurannya.
Geser slider-nya. Setiap sisi berubah, tetapi ketiga sudutnya tidak, dan itulah sebabnya satu perbandingan yang diingat bisa menyelesaikan segitiga berukuran berapa pun.
Dari mana segitiga 30-60-90 berasal
Mulai dari segitiga sama sisi: tiga sisi yang sama panjang, tiga sudut 60°. Potong lurus tepat di tengahnya, dari titik puncak ke titik tengah alas.
Potongannya tegak lurus terhadap alas, jadi kamu mendapat sudut siku-siku. Salah satu sudut 60° di alas tetap utuh. Sudut 60° di puncak terbelah dua, jadi menjadi 30°. Itulah segitiga 30-60-90, dan ia berasal dari bangun yang sisi-sisinya sudah kamu ketahui.
Sekarang baca sisi-sisinya. Kalau segitiga sama sisinya bersisi 2, sisi miring potongannya tetap 2 dan alasnya terbelah menjadi 1. Tingginya didapat dari teorema Pythagoras:
h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, jadi h = sqrt(3).
Sisi 1, sqrt(3), dan 2: itulah perbandingannya, dan nilainya eksak karena berasal dari konstruksi yang eksak, bukan dari hasil mengukur.
Sisi mana di mana
Aturan yang mencegah sebagian besar kesalahan: sisi terpanjang ada di depan sudut terbesar.
| sudut | sisi | panjang |
|---|---|---|
| 30° | sisi siku-siku pendek | x |
| 60° | sisi siku-siku panjang | x√3 |
| 90° | sisi miring | 2x |
Jadi sisi miring panjangnya dua kali sisi yang pendek, tidak pernah dua kali sisi yang panjang. Dan karena sqrt(3) kira-kira 1,73, sisi siku-siku panjang berada di antara keduanya. Ini cara cepat untuk memeriksa kewajaran setiap jawaban yang kamu tulis.
Segitiga 45-45-90 adalah persegi yang dipotong dua
Trik yang sama, bangun yang berbeda. Ambil persegi bersisi 1 lalu potong sepanjang diagonalnya. Kedua sudut yang tersisa sama-sama 45°, kedua sisi siku-sikunya sama panjang, dan diagonalnya menjadi sisi miring:
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, jadi d = sqrt(2).
Perbandingannya 1 : 1 : sqrt(2). Segitiga ini muncul di mana pun ada persegi: diagonal layar, ubin, papan catur.
Mencari sisi yang hilang
Selalu kembali ke sisi pendek dulu, lalu perbesar.
Diketahui sisi miring. Segitiga 30-60-90 dengan sisi miring 14: bagi dua, jadi sisi pendeknya 7, dan sisi siku-siku panjangnya 7sqrt(3).
Diketahui sisi siku-siku panjang. Segitiga 30-60-90 dengan sisi siku-siku panjang 9: bagi dengan sqrt(3) untuk mendapat sisi pendek, 3sqrt(3), jadi sisi miringnya 6sqrt(3).
Diketahui sisi siku-siku segitiga 45-45-90. Sisi siku-siku yang lain sama panjangnya, dan sisi miringnya adalah sisi siku-siku itu dikali sqrt(2).
Geser slider pada gambar sambil membaca contoh-contoh itu. Hitungan di atas hanyalah angka yang terbaca di tiga ukuran yang berbeda.
Coba satu soal
Sebuah segitiga 30-60-90 punya sisi pendek 6. Berapa panjang sisi siku-siku panjangnya?
Biarkan jawabannya sebagai 6sqrt(3), bukan 10,39. Bentuk eksak itulah yang bisa dipakai langkah berikutnya dalam soal, dan itu pula yang dicari penguji.
Nilai trigonometri eksak langsung muncul
Karena dua segitiga ini punya sisi yang eksak, nilai sinus dan kosinusnya juga eksak. Dari situlah angka-angka di setiap tabel lingkaran satuan berasal:
| sudut | sin | cos |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Hanya ada tiga nilai berbeda di seluruh kuadran pertama, dan 30° serta 60° adalah pasangan yang sama dengan posisi tertukar. Itu memang yang akan kamu harapkan dari satu segitiga yang dibaca dari dua sudut lancipnya yang berbeda.
Pertanyaan umum
Berapa panjang sisi-sisi segitiga 30-60-90?
Perbandingannya 1 : √3 : 2. Sisi terpendek ada di depan sudut 30 derajat, sisi terpanjang adalah sisi miring dan panjangnya tepat dua kali sisi terpendek, dan sisi yang tersisa adalah sisi terpendek dikali akar 3. Setiap segitiga 30-60-90 punya perbandingan itu, berapa pun ukurannya.
Dari mana perbandingan 30-60-90 berasal?
Potong segitiga sama sisi menjadi dua sepanjang tingginya. Dua sudut 60 derajat di alas tetap utuh, sudut 60 derajat di puncak terbelah menjadi 30, dan potongannya membentuk sudut siku-siku. Alasnya juga terbelah dua, jadi sisi pendeknya tepat setengah dari sisi semula. Itulah sebabnya sisi miring panjangnya dua kali sisi pendek. Tingginya lalu didapat dari teorema Pythagoras.
Berapa panjang sisi-sisi segitiga 45-45-90?
Perbandingannya 1 : 1 : √2. Kedua sisi siku-sikunya sama panjang karena kedua sudut 45 derajatnya sama besar, dan sisi miringnya adalah sisi siku-siku dikali akar 2. Itu sebenarnya teorema Pythagoras yang diterapkan pada persegi yang dipotong sepanjang diagonalnya, karena segitiga ini memang persis itu.
Bagaimana cara mencari sisi yang hilang pada segitiga istimewa?
Cari sisi pendeknya dulu, lalu perbesar. Kalau yang diketahui sisi miring segitiga 30-60-90, bagi dua untuk mendapat sisi pendek; kalau yang diketahui sisi siku-siku panjang, bagi dengan akar 3. Setelah sisi pendek diketahui, dua sisi lainnya adalah sisi pendek dikali √3 dan sisi pendek dikali 2.
Kenapa harus menghafal ini kalau ada kalkulator?
Karena jawabannya eksak, sedangkan jawaban kalkulator tidak. Kalkulator memberi 8,660254, padahal nilai sebenarnya 5√3, dan nilai eksak itulah yang dibutuhkan langkah berikutnya: menyederhanakan, mencoret faktor, atau membiarkan jawaban dalam bentuk akar. Soal ujian juga terus memakai dua segitiga ini justru karena soalnya bisa dijawab tanpa kalkulator.
