Koefisien Korelasi

Letakkan dua hasil pengukuran berdampingan, misalnya jam tidur dan waktu reaksi, atau suhu dan penjualan es krim, lalu gambar yang satu terhadap yang lain. Kadang titik-titiknya naik dari kiri ke kanan, kadang turun, kadang membentuk awan tanpa bentuk. Koefisien korelasi r mengubah kesan itu menjadi satu angka antara -1 dan 1.

Geser titik-titik di bawah ini. Dua garis putus-putus menandai rata-rata x dan rata-rata y, dan setiap titik diwarnai menurut letaknya terhadap kedua garis itu. Coba tiga preset-nya dulu, lalu tarik satu titik jauh dari yang lain dan lihat pengaruhnya pada r.

Arti angkanya

r selalu berada di antara -1 dan 1, dan membawa dua informasi yang terpisah.

Tandanya adalah arah. r positif berarti ketika x lebih besar, y cenderung lebih besar juga. r negatif berarti ketika x lebih besar, y cenderung lebih kecil. Tanda itu tidak mengatakan apa pun tentang seberapa curam trennya: garis yang naik landai dan garis yang naik tajam sama-sama bisa punya r = 1.

Besarnya adalah seberapa rapat titik-titiknya menempel pada garis lurus. Tepat di 1 atau -1, setiap titik terletak pada satu garis. Di 0, tidak ada tren garis lurus sama sekali.

Grafik di atas memberi label pada r dengan batas yang dipakai sebagian besar buku pelajaran:

Batas-batas ini kesepakatan, bukan teorema. Batas itu berguna untuk menjelaskan hasil dengan kata-kata, dan setiap bidang menggesernya: ahli fisika yang mengukur r = 0,9 antara dua besaran yang seharusnya sebanding persis punya masalah, sedangkan ahli psikologi yang menemukan r = 0,4 antara dua sifat punya sebuah temuan.

Dari mana rumusnya berasal

Setiap titik berada di salah satu dari empat daerah yang dibentuk oleh dua garis rata-rata. Titik di kanan atas pusat punya x di atas rata-ratanya dan y di atas rata-ratanya. Di kiri atas, x di bawah dan y di atas. Seluruh rumusnya dibangun dari gambaran itu:

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

Lihat bagian atasnya dulu. Untuk setiap titik, kalikan seberapa jauh x dari rata-ratanya dengan seberapa jauh y dari rata-ratanya. Di daerah kanan atas dan kiri bawah, kedua jarak itu punya tanda yang sama, jadi hasil kalinya positif. Di dua daerah lainnya tandanya berbeda dan hasil kalinya negatif. Menjumlahkan hasil kali itu menghasilkan total yang tandanya sama dengan tanda r. Itulah sebabnya warna di grafik memberi tahu arahnya sebelum angkanya: titik biru mendorong r naik dan titik oranye menariknya turun.

Bagian bawahnya hanya mengubah skala. Bagian itu membagi dengan sebaran x dan sebaran y, jadi hasilnya tidak lagi bergantung pada satuan dan tidak bisa melewati 1 ke arah mana pun.

Menghitungnya dengan tangan

Ambil lima titik: x = 1, 2, 3, 4, 5 dan y = 2, 4, 5, 4, 5. Rata-rata x adalah 3 dan rata-rata y adalah 4.

Jadi r = 6/√60 = √15/5, yaitu sekitar 0,7746: korelasi positif yang kuat.

Perhatikan bahwa jawaban eksaknya berupa akar kuadrat. Di sini r² hasilnya tepat 3/5, sebuah pecahan biasa, dan r adalah akar kuadratnya dengan tanda dari baris atas. Itulah sebabnya kalkulator koefisien korelasi menampilkan r sebagai bentuk akar dengan desimalnya di sampingnya, bukan hanya desimal yang sudah dibulatkan.

Banyak buku pelajaran memberi rumus yang sama dalam bentuk yang hanya butuh jumlah berjalan, tanpa mengurangkan rata-rata lebih dulu:

r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))

Untuk lima titik yang sama, n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55, dan Σy² = 86. Bagian atasnya 5 × 66 dikurangi 15 × 20 = 30, dan dua kurung di bawahnya bernilai 50 dan 30, jadi r = 30 / √1500, hasilnya sama, √15/5.

r dan r kuadrat

Kuadratkan r dan kamu mendapat r², koefisien determinasi. Untuk lima titik di atas, r² = 0,6. Angka ini dibaca sebagai bagian: garis kecocokan terbaik yang melewati titik-titik ini menjelaskan 60% variasi y, dan 40% sisanya adalah sebaran yang tidak bisa dijelaskan garis itu.

Kedua angka itu menjawab pertanyaan yang berbeda. r menunjukkan arah dan kekuatan sekaligus, dan itulah yang kamu perlukan saat menggambarkan sebuah hubungan. r² membuang tandanya, jadi r = -0,9 dan r = 0,9 sama-sama memberi 0,81, dan angka inilah yang disebut ketika pertanyaannya adalah seberapa banyak sebuah garis menjelaskan. Nilainya juga selalu lebih kecil dari |r|, kecuali r bernilai 0 atau ±1, jadi r sebesar 0,5 yang terdengar lumayan menjadi r² sebesar 0,25: garisnya hanya menjelaskan seperempat variasi.

Korelasi bukan sebab-akibat

r yang kuat menunjukkan dua besaran bergerak bersama dalam data ini. r tidak menjelaskan alasannya, dan ada tiga alasan umum yang sama sekali tidak berhubungan dengan yang satu menyebabkan yang lain.

• Ada besaran ketiga yang menggerakkan keduanya. Penjualan es krim dan kecelakaan saat berenang naik dan turun bersama. Cuaca panas menyebabkan keduanya.
• Sebabnya berjalan ke arah sebaliknya. Kincir angin berputar lebih cepat pada hari dengan angin yang lebih kencang. Angin yang memutar kincir; kincir tidak membuat angin.
• Kebetulan. Bandingkan cukup banyak deret data yang tidak berhubungan, dan sebagian akan sejajar secara kebetulan, terutama dalam rentang beberapa tahun saja.

Untuk menunjukkan bahwa x menyebabkan y, dibutuhkan sesuatu yang tidak bisa diberikan korelasi: eksperimen yang terkendali, atau argumen tentang mekanismenya yang menyingkirkan kemungkinan lain.

Yang tidak bisa dilihat r

Angka ini adalah ringkasan, dan ringkasan menyembunyikan banyak hal. Ada tiga yang perlu kamu ketahui.

Kurva. Titik-titik (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) terletak tepat pada y = x^2, dan koefisien korelasinya tepat 0. Separuh kiri turun, separuh kanan naik, dan hasil kalinya saling meniadakan. r hanya mengukur hubungan garis lurus, jadi kurva yang sempurna pun bisa bernilai nol.

Pencilan. Mulai dari lima titik di atas, r ≈ 0,7746, lalu tambahkan satu titik di (10, 0). r yang baru sekitar -0,5529. Satu titik membalik tandanya. Hal ini juga berlaku sebaliknya: x = 1 sampai 5 dengan y = 3, 1, 4, 1, 5 punya r yang lemah, r ≈ 0,3536, dan menambahkan satu titik di (12, 12) menaikkannya menjadi sekitar 0,9084 tanpa mengubah lima titik lainnya sama sekali. Coba keduanya di grafik: geser satu titik ke sudut dan perhatikan r.

Yang tidak berpengaruh. Mengganti satuan tidak mengubah r. Ukur x dalam sentimeter, bukan meter, atau kalikan setiap x dengan 10, dan r tetap √15/5. Menukar variabel mana yang menjadi x dan mana yang menjadi y juga tidak mengubah r, tidak seperti garis kecocokan terbaik, yang berubah kalau keduanya ditukar.

Jadi lihat diagram pencarnya sebelum menyebut r, dan periksa residual dari garis yang dicocokkan untuk mencari pola yang akan disembunyikan angka itu.

Coba satu soal

Dua besaran punya koefisien korelasi r = -0.9. Berapa nilai r kuadrat?

Jawabannya positif meskipun r negatif, dan nilainya lebih kecil dari 0,9. Kalau kamu mendapat -0,81, tandanya ikut terbawa ke dalam kuadrat; kalau kamu mendapat 0,9, langkah mengkuadratkannya terlewat. Untuk mencari r dari datamu sendiri, tempel kedua kolomnya ke kalkulator koefisien korelasi, yang menampilkan tabel jumlahnya dan rumus yang sudah terisi.