図形の公式一覧

図形で使う公式をすべて一ページにまとめました。図形ごとに図があるので、どの長さが底辺でどれが高さなのかがわかり、公式の下には記号の意味がすべて書いてあります。クイズモードに切り替えると公式が隠れて自分を試せます。一覧をまるごと印刷することもできます。

一覧の読み方

図形を見つけたら、公式の文字を図と照らし合わせます。文字は教科書でよく使うもので、b は底辺、h は高さ、r は半径です。高さはいつも底辺に垂直に測ります。だから図では、高さを小さな直角の印つきの破線でかいています。平行四辺形のように傾いた図形では、斜めの辺は高さではありません。

大文字の B は長さではなく、底面の面積を表します。V = Bh では、まず底面（三角形でも円でも、どんな形でも）の面積を求めてから、高さをかけます。

面積・周の長さ・体積は、答える問いがちがう

縦 3 cm、横 4 cm の長方形を考えます。周の長さはまわりの長さで、3 + 4 + 3 + 4 = 14 cm です。面積は 1 cm の正方形がいくつ入るかで、3 · 4 = 12 cm² です。これを高さ 5 cm の箱にすると、体積は 1 cm の立方体がいくつ入るかで、3 · 4 · 5 = 60 cm³ です。

どの公式が必要かは単位が教えてくれます。長さ×長さは面積、長さ×長さ×長さは体積です。体積を求めたのに答えが平方の単位になったら、かけ算が一つ足りません。

公式は見た目より少ない

一覧のほとんどは、いくつかの考え方をいろいろな図形に当てはめたものです。

• 三角形は平行四辺形の半分。 どんな三角形も、同じものを2つ合わせると底辺と高さが同じ平行四辺形になります。だから面積は ½bh です。
• 台形は、平均の幅をもつ長方形。 面積 ½(a + b)h は、上底と下底の平均に高さをかけたものです。
• 上まで同じ断面が続く立体は、底面積×高さ。 立方体、直方体、角柱、円柱はどれも V = Bh を使います。変わるのは底面積だけです。
• とがった立体は3分の1。 円錐と角錐は、まわりの円柱や角柱の3分の1しか入らないので、V = ⅓Bh です。
• 円の公式はすべて π。 円周は 2πr、面積は πr² です。弧やおうぎ形は、その中心角が 360° に占める割合だけこれらをとったものです。

例題

高さ 10 cm、半径 3 cm の缶があります。何 ml 入るでしょうか。

缶は円柱なので V = πr²h です。底面は面積 π · 3² = 9π の円で、高さは 10 なので、体積は 90π、およそ 283 cm³ です。つまり 283 ml で、よくある 350 ml の缶より少し少なめです。

やってみよう

底辺が 10、高さが 6 の三角形があります。面積はいくつですか？

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公式は何を計算すればよいかを教えてくれます。計算そのものは三平方の定理の計算ツールと体積の計算ツールが、途中の式を一つずつ見せながらやってくれます。三角形の中の角や比については、次の三角関数の公式一覧を読んでください。