sin・cos・tan
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a 対辺b 隣辺c 斜辺
三角関数の公式一覧
三角関数の公式を一枚に。3つの三角比、そこから出てくる関係式、角の公式、正弦定理と余弦定理、弧度法とグラフをまとめました。
最終更新
三角関数の公式をすべて一ページにまとめました。3つの三角比、関係式、角の公式、どんな三角形にも使える定理、弧度法とグラフです。公式の下には記号の意味がすべて書いてあります。クイズモードに切り替えると公式が隠れて自分を試せます。一覧をまるごと印刷することもできます。
三角比
逆数の関係
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
商の関係
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
特別な角
角sincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
基本の関係式
三平方の関係
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
負の角の公式
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
余角の公式
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
角の公式
加法定理
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
2倍角の公式
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
半角の公式
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
次数下げの公式
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
積を和に直す公式
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
和を積に直す公式
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
三角形
正弦定理
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C 角a, b, c それぞれの対辺
余弦定理
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C 角a, b, c それぞれの対辺
三角形の面積
- 面積
- A = ½ab sin C
C 辺 a と b の間の角
弧度法とグラフ
弧度法・弧・おうぎ形
- 180° = π rad
- 度からラジアンへ
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- 弧の長さ
- s = rθ
- おうぎ形の面積
- A = ½r²θ
r 半径θ ラジアンで表した角s 弧の長さ
sin と cos のグラフ
- y = A sin(Bx − C) + D
- 振幅
- |A|
- 周期
- 2π / |B|
- 位相のずれ
- C / B
- 中心線
- y = D
すべては3つの比から始まる
直角三角形で、2つある鋭角のうち一つを選び、θ とします。その角の向かいにある辺が対辺、となりにある辺が隣辺、いちばん長い辺が斜辺です。すると、
- sin θ = 対辺 / 斜辺
- cos θ = 隣辺 / 斜辺
- tan θ = 対辺 / 隣辺
一覧のほかの行は、ほとんどがこの3つを変形したものです。
関係式は一つの事実を割ったもの
三角形を半径 1 の円の中に置きます。斜辺は 1 なので、残りの2辺はちょうど cos θ と sin θ になり、三平方の定理から sin²θ + cos²θ = 1 が得られます。
この一つの式から残りの2つが出てきます。すべての項を cos²θ で割ると tan²θ + 1 = sec²θ、かわりに sin²θ で割ると 1 + cot²θ = csc²θ になります。単位円のページでは、三角形が円の上を動くようすが見られます。
角の公式は2つから出てくる
sin と cos の加法定理を覚えましょう。角の公式の欄にあるものは、すべてそこから出てきます。
- 2倍角： 加法定理で B = A とすると、sin(A + A) は 2 sin A cos A になります。
- 次数下げ： cos 2θ = 1 − 2sin²θ を sin²θ について解きます。
- 半角： 次数下げの公式で θ を 2θ の半分と考え、平方根をとります。
- 差： B を −B におきかえ、負の角の公式を使います。
直角三角形でなくても使える
三角比を使うには直角が必要です。それ以外の三角形では、各角を大文字で、その向かいの辺を同じ文字の小文字で表します。すると、
- 正弦定理 は、各辺とその向かいの角を結びつけます。ある辺とその向かいの角がわかっているときに使います。
- 余弦定理 は、三平方の定理に角の分の補正を加えたものです。C = 90° のとき cos C = 0 なので、c² = a² + b² になります。2辺とその間の角、または3辺すべてがわかっているときに使います。
度数法と弧度法
一回転は 360° で、2π ラジアンでもあります。なので 180° = π ラジアンです。関係式はどちらの単位でも成り立ちます。弧の長さ s = rθ とおうぎ形の面積 A = ½r²θ は、θ をラジアンで表す必要があります。だからこそ、これほど短い式になるのです。
やってみよう
次に読むページ
これらの値がどこから来るのかは、SOHCAHTOA と単位円で読めます。面積、体積、座標の公式は図形の公式一覧にあります。
よくある質問
印刷できる三角関数の公式一覧はありますか？
あります。このページの内容はすべて、無料の A4 の PDF と PNG でもダウンロードできます。ダウンロードボタンは一覧の上と下にあります。
三平方の関係の3つの式は何ですか？
sin²θ + cos²θ = 1、1 + tan²θ = sec²θ、1 + cot²θ = csc²θ の3つです。覚えるのは最初の式だけで十分です。それを cos²θ で割ると2つ目、sin²θ で割ると3つ目になります。
正弦定理と余弦定理はどう使い分けますか？
ある角とその対辺がわかっていて、さらに辺か角がもう一つわかるときは正弦定理を使います。2辺とその間の角、または3辺すべてがわかるときは余弦定理を使います。直角三角形ならどちらもいりません。sin、cos、tan の比で足ります。
三角関数の公式はどれを覚えればいいですか？
3つの三角比、sin²θ + cos²θ = 1、そして sin と cos の加法定理です。2倍角の公式は加法定理で B = A としたもの、半角の公式と次数下げの公式は2倍角の公式から出てきます。逆数の関係と商の関係は定義そのものです。
公式は度数法でも弧度法でも成り立ちますか？
はい、どの関係式もどちらの単位でも成り立ちます。ラジアンが必要なのは、角と長さをまぜた公式だけです。弧の長さ s = rθ とおうぎ形の面積 A = ½r²θ は、θ がラジアンのときにしか成り立ちません。
