사인, 코사인, 탄젠트
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a 대변b 이웃변c 빗변
삼각함수 공식 정리
삼각함수 공식을 한 장에 모았습니다. 세 가지 삼각비, 거기서 나오는 관계식, 각의 공식, 사인법칙과 코사인법칙, 라디안과 그래프까지 담았습니다.
마지막 업데이트
삼각함수 공식을 모두 한 페이지에 모았습니다. 세 가지 삼각비, 관계식, 각의 공식, 모든 삼각형에 쓰는 법칙, 라디안과 그래프입니다. 공식 아래에는 모든 기호의 뜻이 적혀 있습니다. 퀴즈 모드로 바꾸면 공식이 가려져 스스로 확인해 볼 수 있고, 정리표 전체를 인쇄할 수도 있습니다.
삼각비
역수 관계
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
몫의 관계
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
특수각
각sincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
기본 관계식
제곱 관계
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
음의 각 공식
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
여각 공식
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
각의 공식
덧셈정리
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
배각 공식
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
반각 공식
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
차수를 낮추는 공식
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
곱을 합으로 바꾸는 공식
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
합을 곱으로 바꾸는 공식
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
삼각형
사인법칙
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C 각a, b, c 각각의 대변
코사인법칙
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C 각a, b, c 각각의 대변
삼각형의 넓이
- 넓이
- A = ½ab sin C
C 변 a와 b 사이의 각
호도법과 그래프
라디안, 호, 부채꼴
- 180° = π rad
- 도를 라디안으로
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- 호의 길이
- s = rθ
- 부채꼴의 넓이
- A = ½r²θ
r 반지름θ 라디안으로 나타낸 각s 호의 길이
사인과 코사인 그래프
- y = A sin(Bx − C) + D
- 진폭
- |A|
- 주기
- 2π / |B|
- 위상 이동
- C / B
- 중심선
- y = D
모든 것은 세 가지 비에서 시작한다
직각삼각형에서 두 예각 중 하나를 골라 θ라고 합시다. 그 각의 맞은편에 있는 변이 대변, 그 각에 붙어 있는 변이 이웃변, 가장 긴 변이 빗변입니다. 그러면:
- sin θ = 대변 / 빗변
- cos θ = 이웃변 / 빗변
- tan θ = 대변 / 이웃변
정리표의 다른 줄은 거의 다 이 세 식을 바꿔 쓴 것입니다.
관계식은 하나의 사실을 나눈 것
삼각형을 반지름이 1인 원 안에 놓습니다. 빗변이 1이므로 나머지 두 변은 정확히 cos θ와 sin θ이고, 피타고라스 정리에서 sin²θ + cos²θ = 1이 나옵니다.
이 한 줄에서 나머지 두 식이 나옵니다. 모든 항을 cos²θ로 나누면 tan²θ + 1 = sec²θ가 되고, 대신 sin²θ로 나누면 1 + cot²θ = csc²θ가 됩니다. 단위원 페이지에서 삼각형이 원을 따라 움직이는 모습을 볼 수 있습니다.
각의 공식은 두 식에서 나온다
사인과 코사인의 덧셈정리를 익히세요. 각의 공식 부분에 있는 것은 모두 여기서 나옵니다.
- 배각: 덧셈정리에서 B = A로 놓으면 sin(A + A)는 2 sin A cos A가 됩니다.
- 차수 낮추기: cos 2θ = 1 − 2sin²θ를 sin²θ에 대해 풉니다.
- 반각: 차수를 낮추는 공식에서 θ를 2θ의 절반으로 보고 제곱근을 씌웁니다.
- 뺄셈: B를 −B로 바꾸고 음의 각 공식을 씁니다.
직각삼각형이 아니어도
삼각비에는 직각이 필요합니다. 다른 삼각형에서는 각을 대문자로, 그 맞은편 변을 같은 글자의 소문자로 나타냅니다. 그러면:
- 사인법칙은 각 변을 그 맞은편 각과 이어 줍니다. 한 변과 그 대각을 알 때 씁니다.
- 코사인법칙은 피타고라스 정리에 각에 따른 보정을 더한 것입니다. C = 90°이면 cos C = 0이므로 c² = a² + b²이 됩니다. 두 변과 그 끼인각을 알거나 세 변을 모두 알 때 씁니다.
도와 라디안
한 바퀴는 360°이고 2π 라디안이기도 하므로 180° = π 라디안입니다. 관계식은 어느 단위에서나 성립합니다. 호의 길이 s = rθ와 부채꼴의 넓이 A = ½r²θ는 θ가 라디안이어야 합니다. 그래서 이렇게 짧은 식이 됩니다.
풀어 보기
다음으로 볼 페이지
이 값들이 어디서 나오는지는 SOHCAHTOA와 단위원에서 볼 수 있습니다. 넓이, 부피, 좌표 공식은 도형 공식 정리에 있습니다.
자주 묻는 질문
인쇄용 삼각함수 공식 정리가 있나요?
네. 이 페이지의 내용은 모두 무료 A4 PDF와 PNG로도 내려받을 수 있습니다. 다운로드 버튼은 정리표 위와 아래에 있습니다.
세 가지 제곱 관계는 무엇인가요?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ입니다. 외울 것은 첫 번째뿐입니다. 이 식을 cos²θ로 나누면 두 번째가, sin²θ로 나누면 세 번째가 나옵니다.
사인법칙과 코사인법칙은 언제 쓰나요?
한 각과 그 대변을 알고, 변이나 각을 하나 더 알 때는 사인법칙을 씁니다. 두 변과 그 끼인각을 알거나 세 변을 모두 알 때는 코사인법칙을 씁니다. 직각삼각형에서는 둘 다 필요 없고, sin, cos, tan의 비로 충분합니다.
삼각함수 공식은 무엇을 외워야 하나요?
세 가지 삼각비, sin²θ + cos²θ = 1, 그리고 sin과 cos의 덧셈정리입니다. 배각 공식은 덧셈정리에서 B = A로 놓은 것이고, 반각 공식과 차수를 낮추는 공식은 배각 공식에서 나오며, 역수 관계와 몫의 관계는 정의 그 자체입니다.
공식은 도와 라디안에서 모두 성립하나요?
네, 모든 관계식은 어느 단위에서나 성립합니다. 라디안이 꼭 필요한 것은 각과 길이를 함께 쓰는 공식뿐입니다. 호의 길이 s = rθ와 부채꼴의 넓이 A = ½r²θ는 θ가 라디안일 때만 성립합니다.
