도형 공식 정리

도형에서 쓰는 공식을 모두 한 페이지에 모았습니다. 도형마다 그림이 있어서 어느 길이가 밑변이고 어느 길이가 높이인지 알 수 있고, 공식 아래에는 모든 기호의 뜻이 적혀 있습니다. 퀴즈 모드로 바꾸면 공식이 가려져 스스로 확인해 볼 수 있고, 정리표 전체를 인쇄할 수도 있습니다.

정리표 읽는 법

도형을 찾은 다음 공식의 문자를 그림과 맞춰 보세요. 문자는 교과서에서 흔히 쓰는 것으로, b는 밑변, h는 높이, r는 반지름입니다. 높이는 언제나 밑변과 수직으로 잽니다. 그래서 그림에서는 높이를 작은 직각 표시가 있는 점선으로 그렸습니다. 평행사변형처럼 기울어진 도형에서는 비스듬한 변이 높이가 아닙니다.

대문자 B는 길이가 아니라 밑면의 넓이를 뜻합니다. V = Bh에서는 먼저 밑면(삼각형이든 원이든 어떤 모양이든)의 넓이를 구한 다음 높이를 곱합니다.

넓이, 둘레, 부피는 서로 다른 질문에 답한다

가로 3 cm, 세로 4 cm인 직사각형을 생각해 봅시다. 둘레는 그 주위를 한 바퀴 도는 거리로, 3 + 4 + 3 + 4 = 14 cm입니다. 넓이는 한 변이 1 cm인 정사각형이 몇 개 들어가는지로, 3 · 4 = 12 cm²입니다. 이것을 높이 5 cm인 상자로 세우면, 부피는 한 모서리가 1 cm인 정육면체가 몇 개 들어가는지로, 3 · 4 · 5 = 60 cm³입니다.

어떤 공식이 필요한지는 단위가 알려 줍니다. 길이 곱하기 길이는 넓이이고, 길이 곱하기 길이 곱하기 길이는 부피입니다. 부피를 구했는데 답이 제곱 단위로 나왔다면 곱해야 할 것이 하나 빠진 것입니다.

공식은 보기보다 적다

정리표의 대부분은 몇 가지 생각을 여러 도형에 적용한 것입니다.

• 삼각형은 평행사변형의 절반입니다. 어떤 삼각형이든 똑같은 것 두 개를 붙이면 밑변과 높이가 같은 평행사변형이 되므로, 넓이는 ½bh입니다.
• 사다리꼴은 평균 너비를 가진 직사각형입니다. 넓이 ½(a + b)h는 윗변과 아랫변의 평균에 높이를 곱한 것입니다.
• 위까지 같은 단면이 이어지는 입체는 밑넓이 곱하기 높이입니다. 정육면체, 직육면체, 각기둥, 원기둥은 모두 V = Bh를 씁니다. 달라지는 것은 밑넓이뿐입니다.
• 뾰족한 입체는 3분의 1입니다. 원뿔과 각뿔은 그것을 둘러싼 원기둥이나 각기둥의 3분의 1만 담으므로 V = ⅓Bh입니다.
• 원의 공식은 모두 π입니다. 원주는 2πr, 넓이는 πr²이고, 호와 부채꼴은 중심각이 360°에서 차지하는 비율만큼 이 값들을 가져온 것입니다.

예제

높이가 10 cm, 반지름이 3 cm인 캔이 있습니다. 얼마나 담을 수 있을까요?

캔은 원기둥이므로 V = πr²h입니다. 밑면은 넓이가 π · 3² = 9π인 원이고 높이는 10이므로, 부피는 90π, 약 283 cm³입니다. 즉 283 ml로, 흔히 보는 355 ml 캔보다 조금 적습니다.

풀어 보기

밑변이 10, 높이가 6인 삼각형이 있습니다. 넓이는 얼마인가요?

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공식은 무엇을 계산할지 알려 줍니다. 계산 자체는 피타고라스 정리 계산기와 부피 계산기가 단계마다 보여 주며 해 줍니다. 삼각형 안의 각과 비에 대해서는 다음 페이지인 삼각함수 공식 정리를 보세요.