Ułamki dziesiętne okresowe

Podziel 1 przez 3. 10 podzielone przez 3 to 3, reszta 1. Dopisz zero: 10 podzielone przez 3 to 3, reszta 1, znowu. Ta sama reszta ciągle się powtarza, więc ta sama cyfra też powtarza się w nieskończoność: $\frac{1}{3}$ to 0.333... To jest ułamek dziesiętny okresowy.

Zamiast kropek nad powtarzającymi się cyframi rysuje się kreskę: $0.\overline{3}$ oznacza, że 3 powtarza się w nieskończoność, a $0.\overline{09}$ oznacza, że para 09 się powtarza. W liczbie $0.1\overline{6}$, która jest równa $\frac{1}{6}$, powtarza się tylko 6, więc kreska znajduje się tylko nad cyfrą 6.

Które ułamki mają rozwinięcie okresowe? Nasze liczby dziesiętne są oparte na dziesiątkach, a 10 to $2\cdot 5$. Ułamek w najprostszej postaci ma rozwinięcie skończone, gdy jego mianownik nie ma czynników pierwszych innych niż 2 i 5, na przykład 4, 8, 20 lub 25. Każdy inny czynnik pierwszy, taki jak 3, 7 lub 11, sprawia, że rozwinięcie dziesiętne jest okresowe.