Seno, coseno y tangente
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a cateto opuestob cateto adyacentec hipotenusa
Identidades trigonométricas
Todas las fórmulas de trigonometría en una sola hoja: las tres razones, las identidades que salen de ellas, las fórmulas de ángulos, los teoremas del seno y del coseno, los radianes y las gráficas.
Última actualización
Todas las fórmulas de trigonometría en una sola página: las tres razones, las identidades, las fórmulas de ángulos, los teoremas para cualquier triángulo, los radianes y las gráficas. Cada símbolo se explica debajo de su fórmula. Cambia al modo Pregúntame para ocultar las fórmulas y ponerte a prueba, o imprime la hoja entera.
Razones trigonométricas
Identidades recíprocas
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
Identidades del cociente
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
Ángulos notables
Ángulosincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
Identidades
Identidades pitagóricas
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Identidades de paridad
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
Identidades de cofunción
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
Fórmulas de ángulos
Fórmulas de suma y resta de ángulos
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
Fórmulas del ángulo doble
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
Fórmulas del ángulo mitad
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
Fórmulas de reducción de potencias
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
Fórmulas de producto a suma
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
Fórmulas de suma a producto
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
Triángulos
Teorema del seno
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C ángulosa, b, c los lados opuestos a ellos
Teorema del coseno
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C ángulosa, b, c los lados opuestos a ellos
Área de un triángulo
- Área
- A = ½ab sin C
C el ángulo entre los lados a y b
Radianes y gráficas
Radianes, arcos y sectores
- 180° = π rad
- De grados a radianes
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- Longitud de arco
- s = rθ
- Área del sector
- A = ½r²θ
r radioθ ángulo en radianess longitud de arco
Gráficas del seno y del coseno
- y = A sin(Bx − C) + D
- Amplitud
- |A|
- Período
- 2π / |B|
- Desfase
- C / B
- Línea media
- y = D
Todo empieza con tres razones
En un triángulo rectángulo, elige uno de los dos ángulos agudos y llámalo θ. El lado que está enfrente es el cateto opuesto, el que está a su lado es el cateto adyacente y el lado más largo es la hipotenusa. Entonces:
- sin θ = opuesto / hipotenusa
- cos θ = adyacente / hipotenusa
- tan θ = opuesto / adyacente
Casi todas las demás líneas de la hoja son una de estas tres, reordenada.
Las identidades son un solo hecho, dividido
Mete el triángulo dentro de una circunferencia de radio 1. La hipotenusa vale 1, así que los dos catetos son exactamente cos θ y sin θ, y el teorema de Pitágoras da sin²θ + cos²θ = 1.
Esa línea da las otras dos. Divide cada término entre cos²θ y obtienes tan²θ + 1 = sec²θ; divide en cambio entre sin²θ y obtienes 1 + cot²θ = csc²θ. La página de la circunferencia unitaria muestra el triángulo girando alrededor de la circunferencia.
Las fórmulas de ángulos salen de dos
Aprende las fórmulas de la suma para el seno y el coseno. Todo lo de la sección de fórmulas de ángulos sale de ellas:
- Ángulo doble: pon B = A en la fórmula de la suma, y sin(A + A) se convierte en 2 sin A cos A.
- Reducción de potencias: despeja sin²θ en cos 2θ = 1 − 2sin²θ.
- Ángulo mitad: la fórmula de reducción de potencias con θ escrito como la mitad de 2θ, y después una raíz cuadrada.
- Resta: cambia B por −B y usa las identidades de paridad.
Cualquier triángulo, no solo los rectángulos
Las razones necesitan un ángulo recto. Para cualquier otro triángulo, nombra cada ángulo con una letra mayúscula y el lado que tiene enfrente con la misma letra en minúscula. Entonces:
- El teorema del seno relaciona cada lado con el ángulo opuesto. Úsalo cuando conoces un lado y su ángulo opuesto.
- El teorema del coseno es el teorema de Pitágoras con una corrección para el ángulo: cuando C = 90°, cos C = 0 y queda c² = a² + b². Úsalo cuando conoces dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados.
Grados y radianes
Una vuelta completa son 360°, o 2π radianes, así que 180° = π radianes. Las identidades se cumplen en las dos unidades. La longitud de arco s = rθ y el área del sector A = ½r²θ necesitan θ en radianes: eso es lo que las hace tan cortas.
Prueba una
Qué ver después
Para entender de dónde salen estos valores, lee SOHCAHTOA y la circunferencia unitaria. El formulario de geometría tiene las fórmulas de área, volumen y coordenadas.
Preguntas frecuentes
¿Hay un formulario de identidades trigonométricas para imprimir?
Sí. Todo lo de esta página también se descarga gratis como PDF en tamaño A4 y como PNG. Los botones de descarga están encima de la hoja y otra vez debajo.
¿Cuáles son las tres identidades pitagóricas?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ y 1 + cot²θ = csc²θ. Solo vale la pena memorizar la primera: divídela entre cos²θ para obtener la segunda y entre sin²θ para obtener la tercera.
¿Cuándo uso el teorema del seno y cuándo el del coseno?
Usa el teorema del seno cuando conoces un ángulo y el lado opuesto, más otro lado u otro ángulo. Usa el teorema del coseno cuando conoces dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados. En un triángulo rectángulo no necesitas ninguno de los dos: bastan las razones sin, cos y tan.
¿Qué fórmulas de trigonometría hay que memorizar?
Las tres razones, sin²θ + cos²θ = 1 y las fórmulas de la suma para sin y cos. Las del ángulo doble son las de la suma con B = A, las del ángulo mitad y las de reducción de potencias salen de las del ángulo doble, y las identidades recíprocas y del cociente son definiciones.
¿Las fórmulas funcionan en grados y en radianes?
Sí, todas las identidades se cumplen en las dos unidades. Solo las fórmulas que mezclan un ángulo con una longitud necesitan radianes: la longitud de arco s = rθ y el área del sector A = ½r²θ solo son ciertas cuando θ está en radianes.
