Перекрёстное умножение

В пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ перемножьте числа крест-накрест через знак равенства: верхнее левое на нижнее правое, а нижнее левое на верхнее правое. Эти произведения по диагонали всегда равны: $a\cdot d = b\cdot c$. В пропорции $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ произведения по диагонали — это 3 · 12 и 4 · 9, и оба равны 36.

Почему это работает? Приведите обе дроби к одному знаменателю: 4 · 12 = 48. Тогда $\frac{3}{4}$ — это 36/48, и $\frac{9}{12}$ тоже равно 36/48. Новые числители — это в точности произведения по диагонали: 3 · 12 и 9 · 4. Равные дроби с одинаковым знаменателем должны иметь одинаковые числители, поэтому произведения по диагонали совпадают.

Это делает перекрёстное умножение быстрым способом проверить, равны ли два отношения, без сокращения. Равны ли $\frac{4}{6}$ и $\frac{10}{15}$? 4 · 15 равно 60, а 6 · 10 равно 60, значит, да. А равны ли $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$? 3 · 7 равно 21, а 4 · 5 равно 20, значит, нет.