Периодические десятичные дроби

Раздели 1 на 3. 10, делённое на 3, равно 3, остаток 1. Снеси ноль: 10, делённое на 3, снова равно 3, остаток 1. Остаток повторяется, поэтому та же цифра повторяется снова и снова: $\frac{1}{3}$ равно 0.333... Это бесконечная периодическая десятичная дробь.

Вместо точек над повторяющимися цифрами ставят черту: $0.\overline{3}$ означает, что цифра 3 повторяется бесконечно, а $0.\overline{09}$ означает, что повторяется пара 09. В числе $0.1\overline{6}$, которое равно $\frac{1}{6}$, повторяется только цифра 6, поэтому черта стоит только над ней.

Какие дроби дают периодическую десятичную запись? В десятичной системе счисления мы считаем десятками, а 10 — это $2\cdot 5$. Дробь в несократимом виде имеет конечную десятичную запись, если её знаменатель не содержит простых множителей, отличных от 2 и 5, например 4, 8, 20 или 25. Любой другой простой множитель, например 3, 7 или 11, приводит к периодической десятичной записи.