Một nghiệm sai

Bình phương có thể khiến hai số khác nhau trông giống nhau: -3 và 3 không bằng nhau, nhưng bình phương của cả hai đều bằng 9. Vì vậy, phép bình phương có thể biến một phương trình sai thành phương trình đúng, và phương trình sau khi bình phương có thể có nghiệm mà phương trình ban đầu không có.

Xét $\sqrt{x+6} = x$. Bình phương hai vế, ta được $x+6 = {x}^{2}$, nên ${x}^{2}-x-6 = 0$, phương trình này phân tích thành nhân tử như sau: $\left(x-3\right)\left(x+2\right) = 0$. Các giá trị cần thử là 3 và -2. Thay từng giá trị vào phương trình ban đầu. Với 3: $\sqrt{9}$ bằng 3, và vế phải cũng bằng 3. Đúng. Với -2: $\sqrt{4}$ bằng 2, nhưng vế phải bằng -2. Sai. Vậy ta loại -2, và nghiệm duy nhất là 3.

Một nghiệm ứng viên mà các phép biến đổi tạo ra nhưng phương trình ban đầu loại bỏ được gọi là nghiệm ngoại lai (sách giáo khoa gọi là nghiệm thừa). Đây không phải là lỗi biến đổi đại số của bạn: phép bình phương đã tạo ra nghiệm đó. Vì vậy, ta luôn kiểm tra từng nghiệm ứng viên trong phương trình ban đầu, không phải phương trình đã bình phương, nơi cả hai nghiệm đều thỏa mãn.