Nghịch đảo của bình phương

Thuộc phần Căn thức và số mũ hữu tỉ trong hành trình Algebra 2 của Coddy. Bài học 34 trên 40.

Quy tắc $f\left(x\right) = {x}^{2}$ không có hàm ngược như hiện tại. Cả 2 và -2 đều cho kết quả 4, nên hàm ngược khi áp dụng cho 4 sẽ cần có hai đáp án. Cách khắc phục là giới hạn f chỉ nhận đầu vào $x \ge 0$ . Khi đó, mỗi đầu ra chỉ tương ứng với một đầu vào.

Xét $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ với $x \ge 0$ . Đổi chỗ x và y như thường lệ: $x = {y}^{2}-3$ . Giải tìm y: chuyển -3 sang vế kia, ta có $x+3 = {y}^{2}$ , rồi lấy căn bậc hai hai vế, ta được hai đáp án: $y = \sqrt{x+3}$ và $y = -\sqrt{x+3}$ .

Điều kiện giới hạn chọn một nghiệm. Các giá trị đầu ra của hàm ngược là các giá trị đầu vào của f, và chúng đều ít nhất là 0. Nghiệm căn âm cho ra các giá trị âm, nên ta chọn: ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$ . Kiểm tra lại: f(2) bằng 1, và hàm ngược biến 1 thành $\sqrt{4}$ , tức là 2. Trên miền xác định bị giới hạn, hàm ngược của phép bình phương là căn bậc hai.

Thử thách

Tìm hàm ngược của $f\left(x\right) = {x}^{2}+1$ với $x \ge 0$ . Bảng có phương trình đã đổi chỗ $x = {y}^{2}+1$ . Tự viết các dòng: trước tiên là bình phương đứng riêng, sau đó là y. Vì f chỉ nhận đầu vào $x \ge 0$ , hàm ngược chỉ cho đầu ra từ 0 trở lên, nên chỉ giữ căn dương.