لماذا يصح قانون الجيوب

أسقط الارتفاع h من C على الضلع AB. فيقسم المثلث إلى مثلثين قائمَي الزاوية. في المثلث الأيسر، يقابل h الزاوية A والوتر هو b، لذا h = b×sin(A). وفي المثلث الأيمن، يقابل h الزاوية B والوتر هو a، لذا h = a×sin(B).

كلاهما له الارتفاع نفسه: b×sin(A) = a×sin(B). اقسم على كلا جيبي الزاويتين، فتحصل على a/sin(A) = b/sin(B). ويُدخل ارتفاعٌ من زاوية أخرى c بالطريقة نفسها. إذا كانت B منفرجة، يقع الارتفاع خارج المثلث، وتكون الزاوية في المثلث القائم هناك 180° − B، وجيبها يساوي الجيب نفسه.

حالتا زاويتين وضلع مقابل لإحداهما (AAS) هي الحالة المباشرة. عندما تكون A = 40° وB = 75° وa = 9: b/sin(75°) = 9/sin(40°)، لذا فإن b تساوي نحو 13.52.