لماذا تتساوى الأضلاع؟

لماذا يكون المثلث المُنشأ متساوي الأضلاع؟ بسبب قاعدة واحدة: أنصاف الأقطار متساوية. لكل نصف قطر في الدائرة، وهو قطعة مستقيمة من مركزها إلى الدائرة، الطول نفسه.

في المثلث PQR، يمتد الضلعان PQ وPR من P إلى الدائرة مركزها P، لذا PR = PQ. ويمتد الضلعان QP وQR من Q إلى الدائرة مركزها Q، لذا QR = QP. الأضلاع الثلاثة كلها تساوي PQ. هذا هو الإنشاء الأول في كتاب إقليدس «العناصر»، الذي كُتب قبل نحو 2,300 عام.

لا يُوثق بهذا الإنشاء إلا لأن لكل خطوة سببًا، تمامًا كما في تتبّع الزوايا.