Prodotti incrociati

In una proporzione $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, moltiplica incrociando il segno di uguale: il numeratore a sinistra per il denominatore a destra e il denominatore a sinistra per il numeratore a destra. Questi prodotti incrociati sono sempre uguali: $a\cdot d = b\cdot c$. In $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, i prodotti incrociati sono 3 · 12 e 4 · 9, ed entrambi sono 36.

Perché funziona? Dai alle due frazioni lo stesso denominatore: 4 · 12 = 48. Allora $\frac{3}{4}$ è 36 su 48 e anche $\frac{9}{12}$ è 36 su 48. I nuovi numeratori sono esattamente i prodotti incrociati, 3 · 12 e 9 · 4. Frazioni uguali con lo stesso denominatore devono avere lo stesso numeratore, quindi i prodotti incrociati coincidono.

Quindi i prodotti incrociati permettono di verificare rapidamente se due rapporti sono uguali, senza semplificare. $\frac{4}{6}$ e $\frac{10}{15}$ sono uguali? 4 · 15 fa 60 e 6 · 10 fa 60, quindi sì. E $\frac{3}{4}$ e $\frac{5}{7}$? 3 · 7 fa 21, ma 4 · 5 fa 20, quindi no.