Sinus, cosinus et tangente
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a côté opposéb côté adjacentc hypoténuse
Formules de trigonométrie
Toutes les formules de trigonométrie sur une seule fiche : les trois rapports, les identités qui en découlent, les formules d'angles, les lois des sinus et des cosinus, les radians et les courbes.
Dernière mise à jour
Toutes les formules de trigonométrie sur une seule page : les trois rapports, les identités, les formules d'angles, les lois pour n'importe quel triangle, les radians et les courbes. Chaque symbole est expliqué sous sa formule. Passez en mode Interrogez-moi pour masquer les formules et vous tester, ou imprimez la fiche entière.
Rapports trigonométriques
Identités réciproques
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
Identités du quotient
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
Angles remarquables
Anglesincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
Identités
Identités de Pythagore
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Parité
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
Angles complémentaires
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
Formules d'angles
Formules d'addition
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
Formules de duplication
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
Formules de l'angle moitié
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
Formules de linéarisation
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
Produits en sommes
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
Sommes en produits
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
Triangles
Loi des sinus
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C anglesa, b, c les côtés opposés
Loi des cosinus (Al-Kashi)
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C anglesa, b, c les côtés opposés
Aire d'un triangle
- Aire
- A = ½ab sin C
C l'angle entre les côtés a et b
Radians et courbes
Radians, arcs et secteurs
- 180° = π rad
- Degrés en radians
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- Longueur d'arc
- s = rθ
- Aire du secteur
- A = ½r²θ
r rayonθ angle en radianss longueur d'arc
Courbes du sinus et du cosinus
- y = A sin(Bx − C) + D
- Amplitude
- |A|
- Période
- 2π / |B|
- Déphasage
- C / B
- Ligne médiane
- y = D
Tout part de trois rapports
Dans un triangle rectangle, choisissez l'un des deux angles aigus et appelez-le θ. Le côté en face de lui est le côté opposé, le côté qui le borde est le côté adjacent et le plus long côté est l'hypoténuse. Alors :
- sin θ = opposé / hypoténuse
- cos θ = adjacent / hypoténuse
- tan θ = opposé / adjacent
Presque toutes les autres lignes de la fiche sont l'un de ces trois rapports, réarrangé.
Les identités sont un seul fait, divisé
Placez le triangle dans un cercle de rayon 1. L'hypoténuse vaut 1, donc les deux autres côtés valent exactement cos θ et sin θ, et le théorème de Pythagore donne sin²θ + cos²θ = 1.
Cette ligne donne les deux autres. Divisez chaque terme par cos²θ et vous obtenez tan²θ + 1 = sec²θ ; divisez plutôt par sin²θ et vous obtenez 1 + cot²θ = csc²θ. La page du cercle trigonométrique montre le triangle qui tourne autour du cercle.
Les formules d'angles viennent de deux
Apprenez les formules d'addition du sinus et du cosinus. Toute la section des formules d'angles en découle :
- Duplication : posez B = A dans la formule d'addition, et sin(A + A) devient 2 sin A cos A.
- Linéarisation : isolez sin²θ dans cos 2θ = 1 − 2sin²θ.
- Angle moitié : la formule de linéarisation avec θ écrit comme la moitié de 2θ, puis une racine carrée.
- Différence : remplacez B par −B et utilisez la parité.
N'importe quel triangle, pas seulement les triangles rectangles
Les rapports exigent un angle droit. Pour tout autre triangle, notez chaque angle par une lettre majuscule et le côté en face par la même lettre en minuscule. Alors :
- La loi des sinus relie chaque côté à l'angle qui lui fait face. Utilisez-la quand vous connaissez un côté et son angle opposé.
- La loi des cosinus (le théorème d'Al-Kashi) est le théorème de Pythagore avec une correction pour l'angle : quand C = 90°, cos C = 0 et elle devient c² = a² + b². Utilisez-la quand vous connaissez deux côtés et l'angle entre eux, ou les trois côtés.
Degrés et radians
Un tour complet fait 360°, soit 2π radians, donc 180° = π radians. Les identités sont vraies dans les deux unités. La longueur d'arc s = rθ et l'aire du secteur A = ½r²θ exigent θ en radians : c'est ce qui les rend si courtes.
À vous
Et ensuite
Pour savoir d'où viennent ces valeurs, lisez SOHCAHTOA et le cercle trigonométrique. La fiche de formules de géométrie réunit les formules d'aire, de volume et de coordonnées.
Questions fréquentes
Existe-t-il une fiche de formules de trigonométrie à imprimer ?
Oui. Tout ce qui est sur cette page existe aussi en PDF gratuit au format A4 et en PNG. Les boutons de téléchargement se trouvent au-dessus de la fiche et à nouveau en dessous.
Quelles sont les trois identités de Pythagore ?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ et 1 + cot²θ = csc²θ. Seule la première mérite d'être apprise par cœur : divisez-la par cos²θ pour obtenir la deuxième et par sin²θ pour obtenir la troisième.
Quand utiliser la loi des sinus et quand la loi des cosinus ?
Utilisez la loi des sinus quand vous connaissez un angle et le côté opposé, plus un autre côté ou un autre angle. Utilisez la loi des cosinus (le théorème d'Al-Kashi) quand vous connaissez deux côtés et l'angle entre eux, ou les trois côtés. Dans un triangle rectangle, vous n'avez besoin ni de l'une ni de l'autre : les rapports sin, cos et tan suffisent.
Quelles formules de trigonométrie faut-il apprendre par cœur ?
Les trois rapports, sin²θ + cos²θ = 1 et les formules d'addition pour sin et cos. Les formules de duplication sont les formules d'addition avec B = A, celles de l'angle moitié et de linéarisation découlent de la duplication, et les identités réciproques et du quotient sont des définitions.
Les formules marchent-elles en degrés et en radians ?
Oui, chaque identité est vraie dans les deux unités. Seules les formules qui mêlent un angle et une longueur exigent des radians : la longueur d'arc s = rθ et l'aire du secteur A = ½r²θ ne sont vraies que si θ est en radians.
