معكوس عملية التربيع

القاعدة $f\left(x\right) = {x}^{2}$ ليس لها دالة عكسية بصيغتها الحالية. كلٌّ من 2 و-2 يعطي 4، لذا فإن الدالة العكسية عند السؤال عن 4 ستحتاج إلى إجابتين. والحل هو تقييد مدخلات f بحيث تكون $x \ge 0$. عندها يأتي كل ناتج من مدخل واحد فقط.

لنأخذ $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ عندما يكون $x \ge 0$. بدّل x وy كالمعتاد: $x = {y}^{2}-3$. حلّ لإيجاد y: بنقل -3 إلى الطرف الآخر نحصل على $x+3 = {y}^{2}$، وأخذ الجذر التربيعي للطرفين يعطي إجابتين، $y = \sqrt{x+3}$ و$y = -\sqrt{x+3}$.

يختار التقييد جذرًا واحدًا. مخرجات الدالة العكسية هي مدخلات f، وهي لا تقل عن 0. الجذر السالب يعطي مخرجات سالبة، لذا نختار: ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$. تحقّق من ذلك: f(2) تساوي 1، والدالة العكسية ترسل 1 إلى $\sqrt{4}$، وهو 2. على مجال مقيّد، تكون الدالة العكسية لمربعٍ ما هي جذرًا تربيعيًا.