Разные знаки

Чему равно $-12+5$? Начни с -12 и пройди 5 шагов вправо. Ты остановишься на -7, то есть всё ещё ниже нуля. Быстрый способ: знаки разные, поэтому вычти модули: 12 - 5 равно 7, а знак оставь от числа, которое дальше от нуля. -12 находится дальше от нуля, чем 5, поэтому ответ — -7.

То же самое работает и в обратную сторону. $9 + \left(-4\right)$: модули дают 9 - 4, то есть 5, а 9 находится дальше от нуля, чем -4, поэтому ответ — положительное 5.

Почему нужно вычитать? Положительное и отрицательное числа тянут в противоположных направлениях, поэтому они сокращаются, насколько это возможно. Остаток определяется числом с большим модулем. Например, с деньгами: у тебя есть 5 долларов, а ты должен 12, поэтому после того, как ты заплатишь сколько сможешь, ты всё ещё будешь должен 7.