עץ אחד לכל מספר

עץ גורמים יכול להתחיל מכל זוג. ניקח את 48. עץ אחד מפרק אותו ל־6 × 8, ואז את 6 ל־2 × 3 ואת 8 ל־2 × 4, ואז את 4 ל־2 × 2. עץ אחר מתחיל ב־4 × 12. הענפים שונים, אבל בשני העצים מתקבלים אותם עלים: ארבעה מספרי 2 ומספר 3 אחד, 2^4 × 3.

זה תמיד מה שקורה: לכל מספר שלם גדול מ־1 יש פירוק לגורמים ראשוניים יחיד, לא משנה איזה עץ תציירו. רק סדר העלים עשוי להשתנות, ולסדר הגורמים במכפלה אין חשיבות. לכן התחילו בכל פירוק שתזהו תחילה; לא ייתכן שתקבלו מספרים ראשוניים שונים.

זו הסיבה שמספרים ראשוניים נקראים אבני הבניין של המספרים השלמים. כל מספר נבנה מהמספרים הראשוניים שלו, ואף קבוצה אחרת של מספרים ראשוניים אינה נותנת אותו כמכפלה. אם שני אנשים מפרקים את אותו מספר לגורמים ומקבלים מספרים ראשוניים שונים, אחד מהם טעה.