平方函数的反函数

规则 $f\left(x\right) = {x}^{2}$ 按照原样没有反函数。2 和 -2 的结果都是 4，所以如果求 4 对应的反函数值，就会得到两个答案。解决办法是将 f 的输入限制为 $x \ge 0$。这样，每个输出都只对应一个输入。

以 $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ 且 $x \ge 0$ 为例。像往常一样交换 x 和 y：$x = {y}^{2}-3$。解出 y：将 -3 移到等式另一边，得到 $x+3 = {y}^{2}$，对等式两边开平方，得到两个答案：$y = \sqrt{x+3}$ 和 $y = -\sqrt{x+3}$。

这个限制会选出其中一个。反函数的输出是 f 的输入，这些输入都至少为 0。负号根会得到负数，因此应选择：${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$。检查一下：f(2) 等于 1，而反函数把 1 映射到 $\sqrt{4}$，也就是 2。在受限定义域上，平方函数的反函数是平方根函数。