三分之二次幂

在 ${x}^{\frac{2}{3}}$ 中，指数的分子是偶数：${x}^{\frac{2}{3}}$ 等于 ${\left(cbrt\left(x\right)\right)}^{2}$，也就是 x 的立方根的平方。平方会隐藏符号，因此两个数可以有相同的这个幂。来看 ${x}^{\frac{2}{3}} = 9$。27 的立方根是 3，3 的平方是 9，所以 27 符合条件。-27 的立方根是 -3，而 ${\left(-3\right)}^{2}$ 也是 9，所以 -27 也符合条件。

要解这个方程，两边都乘方到 3/2。右边变成 27，也就是上面提到的 2/3 次幂等于 9 的正数。左边不会变成 x：2/3 次幂平方掉了 x 的符号，而 3/2 次幂会开平方，无法还原符号。因此左边变成 $\left|x\right|$：

$${\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}} = \left|x\right|$$

$\left|x\right| = 27$ 表示 x = 27 或 x = -27，和 ${x}^{2} = 9$ 得到 3 和 -3 一样。

从同一个图示可以快速得出两个结论。下面的数 3 是奇数，所以立方根可以取任何数，不必舍弃任何一个答案。上面的数 2 是偶数，所以幂永远不会是负数：${x}^{\frac{2}{3}} = -9$ 没有实数解。