Quadrat
- Flächeninhalt
- A = s²
- Umfang
- P = 4s
s Seite
Formelsammlung Geometrie
Alle Formeln, die du in der Geometrie brauchst, auf einem Blatt: Flächeninhalt und Umfang, Kreise, Dreiecke, Volumen und Oberfläche und Koordinaten, jeweils mit Skizze und mit jedem Symbol erklärt.
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Alle Formeln, die du in der Geometrie brauchst, auf einer Seite. Zu jeder Figur gibt es eine Skizze, damit du siehst, welche Länge die Grundseite und welche die Höhe ist, und jedes Symbol ist unter der Formel erklärt. Schalte auf Frag mich ab, um die Formeln zu verdecken und dich selbst zu prüfen, oder druck das ganze Blatt aus.
Flächeninhalt und Umfang
Rechteck
- Flächeninhalt
- A = lw
- Umfang
- P = 2l + 2w
l Längew Breite
Dreieck
- Flächeninhalt
- A = ½bh
- Umfang
- P = a + b + c
b Grundseiteh Höhea, b, c Seiten
Parallelogramm
- Flächeninhalt
- A = bh
- Umfang
- P = 2a + 2b
b Grundseiteh Höhea Seite
Trapez
- Flächeninhalt
- A = ½(a + b)h
a, b parallele Seitenh Höhe
Raute
- Flächeninhalt
- A = ½d₁d₂
- Umfang
- P = 4s
d₁, d₂ Diagonalens Seite
Regelmäßiges Vieleck
- Flächeninhalt
- A = ½aP
- Innenwinkelsumme
- S = (n − 2) · 180°
- Jeder Innenwinkel
- (n − 2) · 180° / n
a InkreisradiusP Umfangn Anzahl der Seiten
Kreise
Dreiecke
Satz des Pythagoras
- a² + b² = c²
a, b Kathetenc Hypotenuse
Winkel
- Winkelsumme im Dreieck
- α + β + γ = 180°
- Komplementwinkel
- α + β = 90°
- Supplementwinkel
- α + β = 180°
Besondere rechtwinklige Dreiecke
- Seiten im 30-60-90-Dreieck
- x : x√3 : 2x
- Seiten im 45-45-90-Dreieck
- x : x : x√2
Gleichseitiges Dreieck
- Flächeninhalt
- A = (√3 / 4)s²
- Höhe
- h = (√3 / 2)s
s Seite
Satz des Heron
- Flächeninhalt
- A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
- s = (a + b + c) / 2
a, b, c Seitens halber Umfang
Volumen und Oberfläche
Würfel
- Volumen
- V = s³
- Oberfläche
- SA = 6s²
s Seite
Quader
- Volumen
- V = lwh
- Oberfläche
- SA = 2(lw + lh + wh)
l Längew Breiteh Höhe
Prisma
- Volumen
- V = Bh
- Oberfläche
- SA = 2B + Ph
B GrundflächeP Umfang der Grundflächeh Höhe
Zylinder
- Volumen
- V = πr²h
- Oberfläche
- SA = 2πr² + 2πrh
r Radiush Höhe
Kegel
- Volumen
- V = ⅓πr²h
- Oberfläche
- SA = πr² + πrℓ
- ℓ = √(r² + h²)
r Radiush Höheℓ Mantellinie oder Seitenhöhe
Pyramide
- Volumen
- V = ⅓Bh
- Oberfläche
- SA = B + ½Pℓ
B GrundflächeP Umfang der Grundflächeh Höheℓ Mantellinie oder Seitenhöhe
Kugel
- Volumen
- V = ⁴⁄₃πr³
- Oberfläche
- SA = 4πr²
r Radius
Analytische Geometrie
Abstand zweier Punkte
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) die beiden Punkte
Mittelpunkt einer Strecke
- M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) die beiden Punkte
Steigung
- m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- Parallele Geraden
- m₁ = m₂
- Senkrechte Geraden
- m₁ · m₂ = −1
m Steigung
Geradengleichung
- Normalform
- y = mx + b
- Punkt-Steigungs-Form
- y − y₁ = m(x − x₁)
m Steigungb y-Achsenabschnitt
So liest du das Blatt
Such die Figur und ordne dann jeden Buchstaben der Formel der Skizze zu. Die Buchstaben sind die üblichen: b für eine Grundseite, h für eine Höhe, r für einen Radius. Eine Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite. Deshalb zeichnen die Skizzen sie gestrichelt mit einem kleinen Quadrat: Bei einer schiefen Figur wie dem Parallelogramm ist die Höhe nicht die schräge Seite.
Das große B steht für den Flächeninhalt einer Grundfläche, nicht für eine Länge. Bei V = Bh berechnest du zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche (ein Dreieck, ein Kreis, irgendeine Figur) und multiplizierst dann mit der Höhe. In deutschen Schulbüchern heißt die Grundfläche oft G, gemeint ist dasselbe.
Flächeninhalt, Umfang und Volumen beantworten verschiedene Fragen
Nimm ein Rechteck mit 3 cm und 4 cm. Sein Umfang ist die Strecke einmal herum: 3 + 4 + 3 + 4 = 14 cm. Sein Flächeninhalt sagt, wie viele Quadrate mit 1 cm Seitenlänge hineinpassen: 3 · 4 = 12 cm². Mach daraus einen Quader mit 5 cm Höhe, dann sagt das Volumen, wie viele Würfel mit 1 cm Kantenlänge hineinpassen: 3 · 4 · 5 = 60 cm³.
Die Einheiten verraten dir, welche Formel du brauchst. Länge mal Länge ist ein Flächeninhalt, Länge mal Länge mal Länge ist ein Volumen. Kommt bei einem Volumen eine Quadrateinheit heraus, fehlt ein Faktor.
Es sind weniger Formeln, als es aussieht
Das meiste auf dem Blatt sind ein paar Ideen, angewendet auf verschiedene Figuren.
- Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Zwei Kopien eines beliebigen Dreiecks ergeben zusammen ein Parallelogramm mit gleicher Grundseite und Höhe, also ist der Flächeninhalt ½bh.
- Ein Trapez ist ein Rechteck mit der mittleren Breite. Sein Flächeninhalt ½(a + b)h ist der Mittelwert der beiden parallelen Seiten mal die Höhe.
- Alles mit gleichem Querschnitt von unten bis oben ist Grundfläche mal Höhe. Würfel, Quader, Prisma und Zylinder nutzen alle V = Bh; nur die Grundfläche ändert sich.
- Alles, was in einer Spitze endet, ist ein Drittel. Kegel und Pyramide fassen ein Drittel des Zylinders oder Prismas um sie herum, also V = ⅓Bh.
- Bei Kreisen dreht sich alles um π. Der Umfang ist 2πr, der Flächeninhalt πr², und ein Kreisbogen oder Kreisausschnitt ist derselbe Anteil davon wie sein Winkel von 360°.
Ein Rechenbeispiel
Eine Dose ist 10 cm hoch und hat einen Radius von 3 cm. Wie viel passt hinein?
Sie ist ein Zylinder, also V = πr²h. Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Flächeninhalt π · 3² = 9π, die Höhe ist 10, also ist das Volumen 90π, etwa 283 cm³. Das sind 283 ml: etwas weniger als eine normale Getränkedose mit 330 ml.
Probier es selbst
Wie es weitergeht
Die Formeln sagen dir, was du rechnen musst, und der Rechner zum Satz des Pythagoras und der Volumenrechner übernehmen das Rechnen und zeigen jeden Schritt. Für Winkel und Seitenverhältnisse in Dreiecken ist die Formelsammlung Trigonometrie die nächste Seite.
Häufige Fragen
Gibt es die Formelsammlung Geometrie zum Ausdrucken?
Ja. Das Blatt auf dieser Seite gibt es auch als kostenloses PDF im A4-Format und als PNG, mit denselben Skizzen und Formeln. Die Download-Buttons stehen über dem Blatt und noch einmal darunter.
Was ist der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Oberfläche?
Der Flächeninhalt misst eine ebene Figur: wie viel Papier ein Rechteck bedeckt. Die Oberfläche misst die Außenseite eines Körpers: wie viel Papier du brauchst, um eine Schachtel einzupacken. Die Oberfläche eines Quaders ist die Summe der Flächeninhalte seiner sechs Seitenflächen, daher kommt SA = 2(lw + lh + wh).
Warum ist das Volumen eines Kegels ein Drittel des Zylinders?
Ein Kegel passt in einen Zylinder mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe und fasst genau ein Drittel davon: Füllst du den Kegel dreimal mit Wasser, ist der Zylinder voll. Dasselbe Drittel gilt für eine Pyramide in einem Prisma, deshalb deckt V = (1/3)Bh beide ab.
Welche Geometrie-Formeln sollte ich auswendig lernen?
Weniger, als das Blatt vermuten lässt. Lerne das Rechteck, das Dreieck (ein halbes Rechteck), den Kreis, V = Bh für alles mit geraden Seiten und gleichem Querschnitt und das Drittel für alles, was in einer Spitze endet. Fast alles andere sind diese Formeln mit einer bestimmten Grundfläche eingesetzt.
Welche Einheiten haben Flächeninhalt und Volumen?
Längen und Umfänge haben einfache Einheiten (cm), Flächeninhalte Quadrateinheiten (cm²) und Volumen Kubikeinheiten (cm³). Die Einheiten zu prüfen ist der schnellste Weg, eine falsche Formel zu erkennen: Kommt ein Volumen in cm² heraus, fehlt eine Länge.
Mit deinen eigenen Zahlen ausprobieren?
Volumen-Rechner Rechner öffnen