Sinus, Kosinus und Tangens
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a Gegenkatheteb Ankathetec Hypotenuse
Trigonometrie-Formeln
Alle Formeln der Trigonometrie auf einem Blatt: die drei Seitenverhältnisse, die Beziehungen, die daraus folgen, die Winkelformeln, Sinus- und Kosinussatz, Bogenmaß und Graphen.
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Alle Formeln der Trigonometrie auf einer Seite: die drei Seitenverhältnisse, die Beziehungen, die Winkelformeln, die Sätze für jedes Dreieck, Bogenmaß und Graphen. Jedes Symbol ist unter seiner Formel erklärt. Schalte auf Frag mich ab, um die Formeln zu verdecken und dich selbst zu prüfen, oder druck das ganze Blatt aus.
Sinus, Kosinus, Tangens
Kehrwerte
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
Tangens und Kotangens als Quotient
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
Besondere Winkel
Winkelsincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
Beziehungen
Trigonometrischer Pythagoras
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Gerade und ungerade Funktionen
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
Komplementwinkel
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
Winkelformeln
Additionstheoreme
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
Doppelwinkelformeln
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
Halbwinkelformeln
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
Formeln zur Potenzreduktion
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
Produkt in Summe
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
Summe in Produkt
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
Dreiecke
Sinussatz
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C Winkela, b, c die gegenüberliegenden Seiten
Kosinussatz
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C Winkela, b, c die gegenüberliegenden Seiten
Flächeninhalt eines Dreiecks
- Flächeninhalt
- A = ½ab sin C
C der Winkel zwischen den Seiten a und b
Bogenmaß und Graphen
Bogenmaß, Kreisbogen und Kreisausschnitt
- 180° = π rad
- Grad in Bogenmaß
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- Bogenlänge
- s = rθ
- Fläche des Kreisausschnitts
- A = ½r²θ
r Radiusθ Winkel im Bogenmaßs Bogenlänge
Graphen von Sinus und Kosinus
- y = A sin(Bx − C) + D
- Amplitude
- |A|
- Periode
- 2π / |B|
- Phasenverschiebung
- C / B
- Mittellinie
- y = D
Alles beginnt mit drei Seitenverhältnissen
Nimm in einem rechtwinkligen Dreieck einen der beiden spitzen Winkel und nenn ihn θ. Die Seite gegenüber ist die Gegenkathete, die Seite daneben die Ankathete, und die längste Seite ist die Hypotenuse. Dann gilt:
- sin θ = Gegenkathete / Hypotenuse
- cos θ = Ankathete / Hypotenuse
- tan θ = Gegenkathete / Ankathete
Fast jede andere Zeile auf dem Blatt ist eine dieser drei, umgestellt.
Die Beziehungen sind eine einzige Tatsache, geteilt
Leg das Dreieck in einen Kreis mit Radius 1. Die Hypotenuse ist 1, also sind die beiden Katheten genau cos θ und sin θ, und der Satz des Pythagoras liefert sin²θ + cos²θ = 1.
Aus dieser einen Zeile folgen die anderen beiden. Teil jeden Term durch cos²θ, dann erhältst du tan²θ + 1 = sec²θ; teil stattdessen durch sin²θ, dann erhältst du 1 + cot²θ = csc²θ. Die Seite zum Einheitskreis zeigt, wie das Dreieck um den Kreis wandert.
Die Winkelformeln kommen aus zwei Formeln
Lerne die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus. Alles im Abschnitt Winkelformeln folgt daraus:
- Doppelwinkel: Setz im Additionstheorem B = A, dann wird sin(A + A) zu 2 sin A cos A.
- Potenzreduktion: Löse cos 2θ = 1 − 2sin²θ nach sin²θ auf.
- Halbwinkel: die Formel zur Potenzreduktion, bei der θ als Hälfte von 2θ geschrieben wird, dann eine Wurzel ziehen.
- Differenz: Ersetze B durch −B und nutze, dass sin ungerade und cos gerade ist.
Jedes Dreieck, nicht nur rechtwinklige
Die Seitenverhältnisse brauchen einen rechten Winkel. Für jedes andere Dreieck bezeichnest du jeden Winkel mit einem Großbuchstaben und die Seite gegenüber mit demselben kleinen Buchstaben. Dann gilt:
- Der Sinussatz verbindet jede Seite mit dem Winkel gegenüber. Nimm ihn, wenn du eine Seite und ihren Gegenwinkel kennst.
- Der Kosinussatz ist der Satz des Pythagoras mit einer Korrektur für den Winkel: Bei C = 90° ist cos C = 0, und er wird zu c² = a² + b². Nimm ihn, wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst oder alle drei Seiten.
Grad und Bogenmaß
Eine volle Umdrehung sind 360° oder 2π im Bogenmaß, also ist 180° = π. Die Beziehungen gelten in beiden Einheiten. Die Bogenlänge s = rθ und die Fläche des Kreisausschnitts A = ½r²θ brauchen θ im Bogenmaß: Genau das macht sie so kurz.
Probier es selbst
Wie es weitergeht
Woher diese Werte kommen, zeigen SOHCAHTOA und der Einheitskreis. Die Formelsammlung Geometrie hat die Formeln für Flächeninhalt, Volumen und Koordinaten.
Häufige Fragen
Gibt es die Trigonometrie-Formeln zum Ausdrucken?
Ja. Alles auf dieser Seite gibt es auch als kostenloses PDF im A4-Format und als PNG. Die Download-Buttons stehen über dem Blatt und noch einmal darunter.
Wie lauten die drei pythagoreischen Beziehungen?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ und 1 + cot²θ = csc²θ. Auswendig lernen lohnt sich nur die erste: Teil sie durch cos²θ, dann erhältst du die zweite, und durch sin²θ die dritte.
Wann nehme ich den Sinussatz und wann den Kosinussatz?
Den Sinussatz nimmst du, wenn du einen Winkel und die gegenüberliegende Seite kennst und dazu noch eine Seite oder einen Winkel. Den Kosinussatz nimmst du, wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst oder alle drei Seiten. Im rechtwinkligen Dreieck brauchst du keinen von beiden: sin, cos und tan reichen.
Welche Trigonometrie-Formeln sollte ich auswendig lernen?
Die drei Seitenverhältnisse, sin²θ + cos²θ = 1 und die Additionstheoreme für sin und cos. Die Doppelwinkelformeln sind die Additionstheoreme mit B = A, die Halbwinkelformeln und die Formeln zur Potenzreduktion folgen aus den Doppelwinkelformeln, und die Kehrwert- und Quotientenbeziehungen sind Definitionen.
Gelten die Formeln in Grad und im Bogenmaß?
Ja, jede Beziehung gilt in beiden Einheiten. Nur die Formeln, die einen Winkel mit einer Länge verbinden, brauchen das Bogenmaß: Die Bogenlänge s = rθ und die Fläche des Kreisausschnitts A = ½r²θ stimmen nur, wenn θ im Bogenmaß angegeben ist.
