Cuando las rectas nunca se cruzan

Dos rectas no siempre se cruzan. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones, por lo que no comparten ningún punto. Un sistema de dos rectas paralelas tiene ninguna solución. Por ejemplo, $x+y = 3$ y $x+y = 7$ no pueden ser verdaderas al mismo tiempo. Ningún par de números suma 3 y 7 a la vez. El álgebra también lo demuestra. Al restar la primera ecuación de la segunda, queda $0 = 4$, lo cual es falso.

Las ecuaciones equivalentes describen la misma recta. Por ejemplo, $4x+2y = 10$ es el doble de $2x+y = 5$, por lo que todos los puntos de esa recta satisfacen ambas. El sistema tiene infinitas soluciones. Dos rectas distintas que se intersecan tienen una solución, y dos rectas distintas paralelas no tienen ninguna.