点と傾き

直線は、その上の1点と傾きによって定まります。点傾き形式では、点 (x1, y1) を通り、傾きが m である直線の方程式を次のように表します。

$$y-y\cdot 1 = m\left(x-x\cdot 1\right)$$

傾きが3で点 (1, 2) を通る直線の場合、点と傾きを代入します。$y-2 = 3\left(x-1\right)$。これを傾き切片形式に変えるには、括弧を展開して $y-2 = 3x-3$ を得ます。次に、両辺に2を加えると $y = 3x-1$ となります。

点傾き形式は傾きの公式から導かれます。直線上の任意の点 (x, y) を取ります。(x1, y1) から (x, y) までの上昇量は $y-y\cdot 1$ で、横方向の移動量は $x-x\cdot 1$ なので、$\frac{y-y\cdot 1}{x-x\cdot 1} = m$ となります。両辺に横方向の移動量 $x-x\cdot 1$ を掛けると、$y-y\cdot 1 = m\left(x-x\cdot 1\right)$ が得られます。この形式を使うには、既知の点と傾きを代入してから、括弧を展開します。