直線が決して交わらないとき

2本の直線は必ずしも交わるとは限りません。平行線は傾きが同じで切片が異なるため、共有する点がありません。2本の平行線からなる連立方程式には解がありません。たとえば、x + y = 3とx + y = 7は、どちらも同時に成り立つことはありません。3にも7にも同時に加えることのできる数の組はありません。代数的にも同じことが示されます。2本目の方程式から1本目の方程式を引くと、0 = 4となり、これは偽です。

同値な方程式は同じ直線を表します。たとえば、4x + 2y = 10 は 2x + y = 5 の2倍なので、その直線上のすべての点は両方の方程式を満たします。この連立方程式には無限に多くの解があります。異なる2本の交わる直線には解が1つあり、異なる2本の平行な直線には解がありません。