直線が交わらないとき

2本の直線は、必ずしも交わるとは限りません。平行な直線は、傾きが同じで切片が異なるため、共有する点がまったくなく、その連立方程式は解なしです。x + y = 3 と x + y = 7 は同時に成り立ちません。3にも7にも同時に等しくなる組は存在しないからです。代数的にも同じことが分かります。方程式を引き算すると 0 = 4 となり、これは偽です。

そして、2つの方程式が2種類の姿をした同じ直線になることもあります。たとえば 2x + y = 5 と 4x + 2y = 10 のように、直線上のすべての点が両方を満たすため、解は無限にあります。交差する直線、平行な直線、同じ直線が2回現れる場合では、それぞれ解は1つ、0個、またはすべての点になります。