Остаток при делении

Большинство делений не выполняются нацело. Возьмём (2x^2 + 3x + 4)/(x + 1). Первый шаг: 2x^2 разделить на x — получится 2x, а 2x(x + 1) равно 2x^2 + 2x. После вычитания остаётся x + 4, поэтому на доске получается

2x + (x + 4)/(x + 1)

Второй шаг: x разделить на x — получится 1, а после вычитания x + 1 остаётся 3. Теперь x больше не осталось, поэтому деление заканчивается. 3 — это остаток, и он остаётся над делителем:

(2x^2 + 3x + 4)/(x + 1) = 2x + 1 + 3/(x + 1)

Зачем на этом останавливаться? Если продолжить, придётся делить 3 на x, а это не является членом многочлена. Правило: остановитесь, когда степень остатка меньше степени делителя. Чтобы проверить, перемножим обратно: (x + 1)(2x + 1) + 3 — это 2x^2 + 3x + 1 + 3, исходный числитель.