Группировка до конца

Иногда после группировки множителей в скобках остаётся общий множитель. Возьмём ${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18$. Первая пара — это ${x}^{2}\left(x+2\right)$. Для второй пары вынесем -9, а не 9: $-9x-18$ — это $-9\left(x+2\right)$. Именно вынесение минуса позволяет получить одинаковые скобки.

Теперь вынесем общий множитель: $\left(x+2\right)\left({x}^{2}-9\right)$. Но ${x}^{2}-9$ — это разность квадратов, поэтому её тоже можно разложить на множители:

$${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18 = \left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)$$

Разложение на множители завершено только тогда, когда ни один множитель в скобках больше нельзя разложить. Каждый множитель задаёт корень, поэтому этот кубический многочлен равен нулю при -2, -3 и 3.