Решение группировкой

Если кубическое уравнение состоит из четырёх слагаемых и у них нет общего множителя, попробуй сгруппировать слагаемые. Возьмём ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$. У первых двух слагаемых общий множитель — ${x}^{2}$, а у последних двух — -9, поэтому левая часть имеет вид ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$. Теперь x - 3 — общий множитель: $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. Выражение в скобках ${x}^{2}-9$ — это разность квадратов, поэтому всё уравнение имеет вид $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$.

Разбор по случаям дает 3, затем -3, затем снова 3. Множитель x - 3 встречается дважды, поэтому 3 — это кратный корень. В ответе он учитывается один раз: решения — 3 и -3. Ответ представляет собой множество чисел, а в множестве каждое число содержится один раз, независимо от того, сколько множителей на него указывают. На графике корень, повторяющийся четное число раз, как здесь 3, — это точка, в которой кривая касается оси x и поворачивает обратно. Корень, повторяющийся нечетное число раз, пересекает ось: ${\left(x-1\right)}^{3}$ пересекает ее в точке 1.