Четвёртые степени

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$ выглядит как сложное уравнение четвёртой степени, но в нём есть только ${x}^{4}$ и ${x}^{2}$, а ${x}^{4}$ — это ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. Рассмотрим ${x}^{2}$ как одну неизвестную — тогда это квадратное уравнение: эта неизвестная в квадрате, минус 17 таких неизвестных, плюс 16. Два числа, произведение которых равно 16, а сумма равна -17, — это -1 и -16, поэтому уравнение раскладывается на множители: $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$.

Каждая скобка — разность квадратов, поэтому левая часть раскладывается на четыре множителя: $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. Рассмотрев отдельные случаи, получаем четыре ответа: 1, -1, 4 и -4. Уравнение четвёртой степени имеет не более четырёх решений, и у этого уравнения есть все четыре.

Не всякая скобка даёт действительные решения. ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$ раскладывается на множители как $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$, а уравнение ${x}^{2} = -4$ не имеет действительных решений, поскольку квадрат действительного числа никогда не бывает отрицательным. Единственные действительные решения — 5 и -5.