Четвёртые степени

x^4 - 17x^2 + 16 = 0 выглядит как сложное уравнение четвёртой степени, но в нём есть только x^4 и x^2, а x^4 — это (x^2)^2. Рассмотрим x^2 как одну неизвестную — тогда это квадратное уравнение: эта неизвестная в квадрате, минус 17 таких неизвестных, плюс 16. Два числа, произведение которых равно 16, а сумма равна -17, — это -1 и -16, поэтому уравнение раскладывается на множители: (x^2 - 1)(x^2 - 16) = 0.

Каждая скобка — разность квадратов, поэтому левая часть раскладывается на четыре множителя: (x + 1)(x - 1)(x + 4)(x - 4). Рассмотрев отдельные случаи, получаем четыре ответа: 1, -1, 4 и -4. Уравнение четвёртой степени имеет не более четырёх решений, и у этого уравнения есть все четыре.

Не всякая скобка даёт действительные решения. x^4 - 21x^2 - 100 = 0 раскладывается на множители как (x^2 - 25)(x^2 + 4) = 0, а уравнение x^2 = -4 не имеет действительных решений, поскольку квадрат действительного числа никогда не бывает отрицательным. Единственные действительные решения — 5 и -5.