Теорема о множителе

Нулевой остаток — особый случай. Если p(a) = 0, при делении на x - a остатка не будет, поэтому p(x) = (x - a)q(x), и x - a — множитель. Верно и обратное: если x - a — множитель, то p(a) = 0. Это теорема о множителе.

Рассмотрим p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2. Является ли x - 1 множителем? Вычислим p(1): 1 - 2 - 1 + 2 равно нулю, значит, да. Является ли x - 3 множителем? p(3) равно 27 - 18 - 3 + 2, то есть 8, значит, нет: при делении на x - 3 остаток будет равен 8.

Одна подстановка заменяет целое длинное деление. Она также связывает множители с корнями: x - 1 является множителем тогда и только тогда, когда 1 — корень, то есть точка, в которой график p пересекает ось x. Для x + 4 проверьте p(-4).