Знаки дроби

Дробь отрицательна тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель имеют противоположные знаки: положительное число делится на отрицательное или отрицательное — на положительное. Рассмотрим $\frac{x-2}{x+5} < 0$. Нельзя умножить обе части на $x+5$, как на число, поскольку его знак неизвестен, а умножение на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный.

Поэтому вместо этого разделим на случаи в зависимости от знаков. Либо $x-2 > 0$ и $x+5 < 0$, либо $x-2 < 0$ и $x+5 > 0$. В первом случае требуется, чтобы x одновременно было больше 2 и меньше -5. Такого числа нет, поэтому этот случай не имеет решений. Во втором случае требуется, чтобы x было меньше 2 и больше -5, то есть $-5 < x < 2$.

Проверь число, чтобы убедиться. x = 0 дает -2 делить на 5, это отрицательное число, значит, оно подходит. x = 3 дает 1 делить на 8, это положительное число, значит, оно не подходит. Ответ лежит между -5 и 2 — двумя числами, при которых числитель или знаменатель равен 0.