Отрицательный старший коэффициент

В $-{x}^{2}-x+12 > 0$ перед членом с квадратом стоит минус. При разложении на множители этот минус остаётся снаружи скобок: $-\left(x+4\right)\left(x-3\right) > 0$. Минус умножает произведение на -1, поэтому, чтобы всё выражение было положительным, произведение $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ должно быть отрицательным.

Значит, картина меняется на противоположную. Без минуса это произведение положительно вне корней; с минусом выражение положительно между ними. Множители должны иметь разные знаки: $x+4 > 0$ и $x-3 < 0$ дают $-4 < x < 3$, а другой случай, когда x одновременно меньше -4 и больше 3, невозможен.

График это подтверждает. Отрицательный коэффициент при квадратном члене означает, что парабола направлена ветвями вниз, поэтому она находится выше оси x только между своими корнями. Сначала можно умножить обе части на -1 — главное, изменить знак неравенства: $\left(x+4\right)\left(x-3\right) < 0$.