Сокращение множителей

Рациональное выражение — это дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены, например $\frac{{x}^{2}-25}{{x}^{2}+3x-10}$. Упростить её можно так же, как дробь $\frac{6}{9}$: найди общий множитель числителя и знаменателя и сократи его. Сначала разложи на множители оба многочлена. Числитель — это разность квадратов, $\left(x+5\right)\left(x-5\right)$, а для разложения знаменателя нужны два числа, произведение которых равно -10, а сумма — 3, поэтому получаем $\left(x+5\right)\left(x-2\right)$.

$$\frac{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}$$

x + 5 присутствует и в числителе, и в знаменателе, а $\frac{x+5}{x+5}$ равно 1 при всех значениях x, для которых x + 5 не равно 0, поэтому этот множитель сокращается, и остается $\frac{x-5}{x-2}$. Сокращать можно только множители, но не слагаемые. В выражении $\frac{x+6}{x+3}$ возникает соблазн зачеркнуть x и получить $\frac{6}{3}$, то есть 2. Но при x = 3 дробь равна $\frac{9}{6}$, то есть 3/2. Здесь x складывается с числом, а не умножается на него, поэтому x не является множителем ни всего числителя, ни всего знаменателя.

Вот почему сначала нужно разложить на множители: это показывает, что умножается на всё выражение. Если общих множителей нет, дробь уже упрощена настолько, насколько возможно.