Сокращение множителей

Рациональное выражение — это дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены, например (x^2 - 25)/(x^2 + 3x - 10). Упростить её можно так же, как дробь 6/9: найди общий множитель числителя и знаменателя и сократи его. Сначала разложи на множители оба многочлена. Числитель — это разность квадратов, (x + 5)(x - 5), а для разложения знаменателя нужны два числа, произведение которых равно -10, а сумма — 3, поэтому получаем (x + 5)(x - 2).

((x + 5)(x - 5))/((x + 5)(x - 2))

x + 5 присутствует и в числителе, и в знаменателе, а (x + 5)/(x + 5) равно 1 при всех значениях x, для которых x + 5 не равно 0, поэтому этот множитель сокращается, и остается (x - 5)/(x - 2). Сокращать можно только множители, но не слагаемые. В выражении (x + 6)/(x + 3) возникает соблазн зачеркнуть x и получить 6/3, то есть 2. Но при x = 3 дробь равна 9/6, то есть 3/2. Здесь x складывается с числом, а не умножается на него, поэтому x не является множителем ни всего числителя, ни всего знаменателя.

Вот почему сначала нужно разложить на множители: это показывает, что умножается на всё выражение. Если общих множителей нет, дробь уже упрощена настолько, насколько возможно.