За пределами корней

Теперь перевернём вопрос. ${x}^{2}-3x-10 \ge 0$ раскладывается на множители как $\left(x-5\right)\left(x+2\right) \ge 0$, и нужно определить, при каких значениях произведение положительно или равно нулю. Произведение положительно, когда оба множителя имеют одинаковый знак, поэтому возможны два случая: оба множителя не меньше 0 или оба не больше 0.

Оба не меньше 0: $x \ge 5$ и $x \ge -2$. Каждое число от 5 и больше удовлетворяет обоим условиям, поэтому в этом случае получаем $x \ge 5$. Оба не больше 0: $x \le 5$ и $x \le -2$, откуда получаем $x \le -2$. Ответ состоит из двух отдельных частей — чисел вне корней: $x \le -2$ или $x \ge 5$.

Слово или имеет значение. Нет числа, которое одновременно не больше -2 и не меньше 5, поэтому соединение частей словом и не описало бы ничего. Знак равенства тоже важен: при -2 и 5 произведение равно 0, что допускается знаком, поэтому обе границы входят в ответ.