Разность кубов

x^3 - 64 нельзя разбить на пары для группировки, но здесь есть закономерность: x^3 — это x в кубе, а 64 — это 4 в кубе. Разность любых двух кубов раскладывается на множители одинаковым образом:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

При a = x и b = 4 получаем x^3 - 64 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16). Раскройте скобки, чтобы увидеть, почему это работает: x, умноженный на большую скобку, равен x^3 + 4x^2 + 16x, а умножение её на -4 даёт -4x^2 - 16x - 64. Средние слагаемые сокращаются, остаётся x^3 - 64.

Квадратный множитель x^2 + 4x + 16 не имеет действительных множителей: его дискриминант, 16 - 64, отрицателен, поэтому его два корня комплексные. Значит, 4 — единственный действительный корень выражения x^3 - 64. Выучите кубы 1, 8, 27, 64 и 125, чтобы распознавать закономерность.