Разность кубов

${x}^{3}-64$ нельзя разбить на пары для группировки, но здесь есть закономерность: ${x}^{3}$ — это x в кубе, а 64 — это 4 в кубе. Разность любых двух кубов раскладывается на множители одинаковым образом:

$${a}^{3}-{b}^{3} = \left(a-b\right)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)$$

При a = x и b = 4 получаем ${x}^{3}-64 = \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+16\right)$. Раскройте скобки, чтобы увидеть, почему это работает: x, умноженный на большую скобку, равен ${x}^{3}+4{x}^{2}+16x$, а умножение её на -4 даёт $-4{x}^{2}-16x-64$. Средние слагаемые сокращаются, остаётся ${x}^{3}-64$.

Квадратный множитель ${x}^{2}+4x+16$ не имеет действительных множителей: его дискриминант, 16 - 64, отрицателен, поэтому его два корня комплексные. Значит, 4 — единственный действительный корень выражения ${x}^{3}-64$. Выучите кубы 1, 8, 27, 64 и 125, чтобы распознавать закономерность.