Một nghiệm sai

Giải $\ln\left(x\right)+\ln\left(x+4\right) = \ln\left(5\right)$. Gộp vế trái thành $\ln\left(x\left(x+4\right)\right)$, cho các biểu thức bên trong bằng nhau, ta được ${x}^{2}+4x-5 = 0$, phân tích thành nhân tử được $\left(x+5\right)\left(x-1\right) = 0$. Các nghiệm ứng viên là 1 và -5.

Thử -5 trong phương trình đã gộp, ta thấy có vẻ đúng: $x\left(x+4\right)$ bằng -5 nhân với -1, tức là 5. Thử giá trị này trong phương trình ban đầu thì lập tức thấy không đúng, vì $\ln\left(-5\right)$ không xác định. Vậy -5 là nghiệm ngoại lai, và chỉ còn x = 1.

Nó xuất phát từ đâu? Phương trình ban đầu yêu cầu mỗi đầu vào phải dương: x và $x+4$ đều phải lớn hơn 0. Biểu thức log đã gộp chỉ yêu cầu tích của chúng dương, mà hai số âm nhân với nhau cũng cho kết quả dương. Việc gộp các log đã nới lỏng điều kiện, nên phương trình bậc hai chấp nhận một đáp án mà phương trình ban đầu không cho phép. Vì vậy, bước kiểm tra luôn quay lại phương trình ban đầu, không phải một dòng bạn tự lập.