Tổng vô hạn

Cắt đôi chiếc bánh, rồi cắt đôi phần còn lại và tiếp tục như vậy. Các miếng bánh chiếm 1/2, 1/4, 1/8, ... chiếc bánh, và tổng của chúng không bao giờ lớn hơn cả chiếc bánh. Một tổng kéo dài mãi mãi vẫn có thể có đáp án hữu hạn.

Xét công thức tính tổng $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$. Khi r nằm giữa -1 và 1, ${r}^{n}$ tiến dần về 0 khi n tăng: ${\frac{1}{2}}^{10}$ đã nhỏ hơn một phần nghìn. Vì vậy, với một tổng kéo dài mãi mãi, ${r}^{n}$ biến mất và

$$S = \frac{a\left(1\right)}{1-r}$$

Với $10+5+\frac{5}{2}+...$, tỷ số là 1/2, nên $S = \frac{10}{1-\frac{1}{2}}$, bằng 20. Nếu r bằng 1 trở lên, hoặc bằng -1 trở xuống, các số hạng không bao giờ giảm và tổng không có giá trị hữu hạn.