Tổng cấp số nhân

Cộng $1+4+16+64$ bằng một mẹo. Gọi tổng là S, sau đó nhân từng số hạng với công bội 4: $4S = 4+16+64+256$. Hai dãy số có chung 4, 16 và 64, nên khi lấy 4S trừ S, các số đó triệt tiêu: $4S-S = 256-1$. Ta có $3S = 255$, vậy S bằng 85.

Phép trừ tương tự áp dụng được cho mọi cấp số nhân và cho tổng n số hạng đầu tiên:

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

Ở đây, n đếm số hạng, nên số mũ là ${r}^{n}$, không phải ${r}^{n-1}$. Hãy kiểm tra: $\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$ bằng -255 chia cho -3, tức là 85. Công thức chỉ không áp dụng khi r bằng 1, vì khi đó mẫu số bằng 0; lúc ấy mọi số hạng đều bằng nhau và tổng bằng n nhân với số hạng đầu tiên.