Sonsuz Toplamlar

Bir pastayı ikiye böl, sonra kalanını ikiye böl ve böyle devam et. Parçalar pastanın 1/2'si, 1/4'ü, 1/8'i, ... kadardır ve toplamları hiçbir zaman pastanın tamamını aşamaz. Sonsuza kadar devam eden bir toplamın sonlu bir sonucu olabilir.

Toplam formülüne bakın $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$. r, -1 ile 1 arasındayken, n büyüdükçe ${r}^{n}$ 0'a doğru küçülür: ${\frac{1}{2}}^{10}$ şimdiden binde birden küçüktür. Dolayısıyla hiç bitmeyen bir toplamda ${r}^{n}$ kaybolur ve

$$S = \frac{a\left(1\right)}{1-r}$$

$10+5+\frac{5}{2}+...$ için oran 1/2'dir, bu nedenle $S = \frac{10}{1-\frac{1}{2}}$, yani 20'dir. r 1 veya daha büyükse ya da -1 veya daha küçükse terimler hiçbir zaman küçülmez ve toplamın sonlu bir değeri yoktur.