Sonsuz Toplamlar

Coddy'nin Algebra 2 Journey'sinin Üstel Fonksiyonlar, Logaritmalar ve Diziler bölümünün bir parçası. Ders 43 / 49.

Bir pastayı ikiye böl, sonra kalanını ikiye böl ve böyle devam et. Parçalar pastanın 1/2'si, 1/4'ü, 1/8'i, ... kadardır ve toplamları hiçbir zaman pastanın tamamını aşamaz. Sonsuza kadar devam eden bir toplamın sonlu bir sonucu olabilir.

Toplam formülüne bakın S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r). r, -1 ile 1 arasındayken, n büyüdükçe r^n 0'a doğru küçülür: (1/2)^10 şimdiden binde birden küçüktür. Dolayısıyla hiç bitmeyen bir toplamda r^n kaybolur ve

S = a(1)/(1 - r)

10 + 5 + 5/2 + ... için oran 1/2'dir, bu nedenle S = 10/(1 - 1/2), yani 20'dir. r 1 veya daha büyükse ya da -1 veya daha küçükse terimler hiçbir zaman küçülmez ve toplamın sonlu bir değeri yoktur.

Görev

Sonsuza kadar devam eden 12 + 4 + 4/3 + ... geometrik dizisinin toplamı S'yi bulun. Boş tahtaya, formülün doldurulduğu bir S = ... satırı, ardından da değerin bulunduğu bir satır yazın.