Kuvvet Kuralı

$\log_{2}\left(8^{2}\right)$ ifadesini ele alalım. $8 = {2}^{3}$ olduğundan, kuvvet ${\left({2}^{3}\right)}^{2}$ olur; bu da ${2}^{6}$ demektir: bir kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır. Dolayısıyla logaritmanın değeri 6'dır; bu, 3 ile 2'nin, yani üssün 8'in logaritmasıyla çarpımına eşittir. Buna kuvvet kuralı denir:

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

Pozitif M için geçerlidir ve üs, logaritmanın önüne gelir. Nedeni: M, b’nin p. kuvvetiyse M’nin k. kuvveti, b’nin kp. kuvvetidir. Bunu, çarpım kuralının yinelenmesi olarak da görebilirsin: $\log_{b}\left(M^{3}\right)$, M çarpı M çarpı M’nin logaritmasıdır; bu da M’nin üç logaritmasının toplanmasıdır.

Bir harf söz konusu olduğunda işarete dikkat et. x > 0 için $\log_{3}\left(x^{4}\right)$, $4\log_{3}\left(x\right)$ hâline gelir. x = -1 olduğunda sol taraf $\log_{3}\left(1\right)$ olur; bu da 0’dır, ancak $\log_{3}\left(-1\right)$ tanımsızdır, bu yüzden kural için x’in pozitif olması gerekir. Kural, 10 tabanı da dâhil olmak üzere her tabanda geçerlidir.