Lũy thừa của i

Hãy nhân i với chính nó hết lần này đến lần khác. ${i}^{1} = i$ và ${i}^{2} = -1$. Tiếp theo, ${i}^{3} = {i}^{2}\cdot i = -i$, và ${i}^{4} = {i}^{2}\cdot {i}^{2}$, tức là -1 nhân với -1, bằng 1. Thêm một thừa số nữa thì chu kỳ bắt đầu lại: ${i}^{5} = {i}^{4}\cdot i = i$. Các lũy thừa tuần hoàn mãi qua bốn giá trị: i, -1, -i, 1.

Vậy với một lũy thừa lớn, hãy chia số mũ cho 4 và lấy số dư. Với ${i}^{23}$: $23 = 4\cdot 5+3$, nên ${i}^{23} = {\left({i}^{4}\right)}^{5}\cdot {i}^{3}$, tức là 1 nhân với -i, bằng -i. Số dư 1 cho kết quả i, số dư 2 cho kết quả -1, số dư 3 cho kết quả -i, còn số dư 0 cho kết quả 1.

Tại sao lại là 4? Vì ${i}^{4} = 1$, và nhân với 1 không làm thay đổi gì, nên cứ mỗi nhóm bốn chữ i sẽ bị triệt tiêu. Đó là lý do ${i}^{40} = 1$: 40 bằng 4 nhân 10, nên không còn chữ i nào dư lại.