Ba loại nghiệm

Biệt thức nằm dưới dấu căn trong công thức, và căn bậc hai có ba dạng tùy theo dấu của biểu thức dưới dấu căn. Vì vậy, khi a, b và c là số thực, dấu của biệt thức cho bạn biết nghiệm có dạng như thế nào trước khi bạn giải phương trình.

Dương: căn bậc hai là một số thực và dấu ± cho hai nghiệm thực khác nhau. ${x}^{2}-6x+5 = 0$ có biệt thức bằng 16, và các nghiệm là 1 và 5. Bằng không: căn bậc hai bằng 0, nên cộng hay trừ nó đều cho cùng một số. ${x}^{2}+2x+1 = 0$ có biệt thức bằng $4-4$, và nghiệm duy nhất, -1, được gọi là nghiệm kép.

Âm: căn bậc hai của một số âm cần có i, nên cả hai nghiệm đều là số phức. Với ${x}^{2}+2x+5 = 0$, biệt thức là $4-20$, bằng -16, và công thức cho ta $\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}$: $x = -1+2i$ và $x = -1-2i$. Dấu ± tạo thành hai nghiệm liên hợp, có cùng phần thực và phần ảo đối nhau. Khi a, b và c là số thực, các nghiệm phức luôn xuất hiện thành từng cặp như vậy.