Bình phương bằng số âm

Trong Đại số, ${x}^{2} = -9$ không có nghiệm vì không có số thực nào bình phương lên bằng -9. Với i, phương trình có hai nghiệm. Bắt đầu từ ${x}^{2}+9 = 0$: chuyển 9 sang vế kia, ta được ${x}^{2} = -9$, rồi lấy căn bậc hai hai vế: $x = 3i$ hoặc $x = -3i$.

Tại sao có hai nghiệm? Cả ${\left(3i\right)}^{2}$ và ${\left(-3i\right)}^{2}$ đều bằng $9{i}^{2}$, tức là -9, cũng như cả 3 và -3 đều bình phương lên bằng 9. Khi lấy căn bậc hai hai vế, luôn phải tính cả dấu ±.

Hai nghiệm là số phức liên hợp của nhau, và điều đó không phải ngẫu nhiên: khi một phương trình bậc hai có a, b và c là số thực có một nghiệm chứa i, thì nghiệm liên hợp là nghiệm còn lại.